江苏省扬州中学2020届高三数学上学期12月月考试题（含解析）

PAGE2020扬州中学高三上学期12月月考数学一.填空题：1.函数的最小正周期是_____________.【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】【解析】∵函数的周期为，∴函数的最小正周期.2.设为虚数单位），则复数的模为【答案】5【解析】∵，∴.3.若角的终边经过点,则值为__________．【答案】【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出值．【详解】由题意可得x＝2，y＝3，∴tana，故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.已知集合则___________．【答案】【解析】【分析】求出集合B的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．【详解】＝{x|x}，又则A∩B＝{﹣1，1}，故答案为：{﹣1，1}【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键．5.双曲线的两条渐近线的方程为__________．【答案】【解析】∵双曲线的，，焦点在轴上，∴渐近线方程为．6.若函数是奇函数，则为___________．【答案】【解析】【分析】根据奇函数定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），化简可求．【详解】若函数是奇函数，则f（﹣x）＝1即解得：m＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，属于中档题．7.已知，则的值等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据α，β的范围，求出cos（α+β）和sinβ的值，再利用α＝α+β﹣β的关系，利用正弦两角差公式得出答案．【详解】由0＜α，β＜π，得α+β．∴cos（α+β）＜0，sinβ＞0∴cos（α+β）sinβ．∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝（）（）﹣（）•．故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦函数的两角差公式及同角基本关系式，关键是能熟练掌握公式，并灵活运用．8.如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则【答案】【解析】 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍．所以V1：V2=S△ADE•h/S△ABC•H＝=1：24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积9.抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是【答案】【解析】∵，∴，，而当时，即切点为，切线方程为，即，切线与两坐标轴围成的三角形区域为如图，令，由图知，当斜率为的直线经过，取得最大值，即；当斜率为的直线经过，取得最大值，即.故的取值范围是.【考点定位】.导数的集合意义，不等式表示的平面区域，线性规划求目标函数的取值范围.中等题.10.设、分别是的边，上的点，，.若（为实数），则的值是【答案】【解析】依题意，，∴，∴，，故.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.11.若函数在定义域内某区间H上是增函数，且在H上是减函数，则称的在H上是“弱增函数”．已知函数的上是“弱增函数”，则实数的值为________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数与对勾函数的单调区间列出不等式组得出结论．【详解】由题意可知g（x）＝x2+（4﹣m）x+m在（0，2]上是增函数，∴0，即m≤4．令h（x）x4﹣m，则h（x）在（0，2]上是减函数，（1）当m≤0时，h（x）在（0，2]上为增函数，不符合题意；（2）当m＞0时，由对勾函数性质可知h（x）在（0，]上单调递减，∴2，即m≥4．又m≤4，故m＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了函数单调性判断，单调区间的求法，属于中档题．12.已知实数,满足，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据题意，，则，，据此有3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]，，构建新函数，利用导数求最值．【详解】根据题意，1，又，则，则3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]；记，,故在上单调递增，即最小值为6∴3a+2b[6]的最小值为6故答案为：6．【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，解题关键整体换元合理构建新函数，属于中档题.13.如图，已知椭圆，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点M恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】试题分析：直线，直线，其交点横坐标为，所以考点：椭圆性质14.已知函数记，若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，转化为函数与的图象有交点的横坐标在上，利用数形结合法求解即可.【详解】由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，所以方程有根，所以函数与的图象有交点的横坐标在上，所以函数的图象为顶点在直线上移动的折线，如图所示，可得，即，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中把条件可转化为函数在上存在零点，进而函数与的图象有交点的横坐标在上是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理论证能力.二.解答题：15.已知，.（1）若，求的值；（2）设，若，求，的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由，结合条件可得结果；（2）根据向量坐标运算公式和三角函数性质即可得出α，β的值．【详解】（1）由题意可知，且∴（2），∴，由此得，由，得，又，故，代入得，而，∴，.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，属于中档题．16.如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面分别与交于点．（1）求证：平面；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）由平面可得，结合可证平面.（2）先由证明平面，从而得到，故.详解：（1）证明:∵在四棱锥中，平面，平面，∴，∵，，∴平面.（2）∵，过的平面分别与交于点，故平面平面又平面，平面，∴平面，而平面，∴∴点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？【答案】（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．【解析】试题分析：（1）易得的面积．当且仅当时，取“”．即当米；（2）由题意得，要使竹篱笆用料最省，只需其长度最短，又，当时,有最小值,从而求得正解．试题解析：设米，米．（1）则的面积．当且仅当,即时，取“”．即当米,米时,可使三角形地块的面积最大．（2）由题意得，即，要使竹篱笆用料最省，只需其长度最短，所以，当时,有最小值,此时当米,米时,可使篱笆最省．考点：1、解三角形；2、重要不等式．18.已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.（1）求圆与椭圆的方程；（2）若依次成等差数列，求直线的方程.【答案】（1）椭圆的方程为：，：；（2）直线的方程为：.【解析】试题分析：（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求的值，而本身满足，只要再建立一个关于的等式即可求出的值，这可从直线被圆截得的弦长为考虑，运用垂径定理建立关于等式；（2）求直线的方程，因为直线已经经过，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为成等差数列，结合椭圆的定义，可求得的长，从而可求得的坐标，最终可求得直线的方程.试题解析：（1）取的中点，连，由，，知，，，即，从而，椭圆的方程为：，：.（2）设，，又的长成等差数列，，设，由解得，，：.考点：直线与圆、直线与椭圆.19.已知函数．（1）若曲线在处的切线过点．①求实数的值；②设函数，当时，试比较与的大小；（2）若函数有两个极值点，（），求证：．【答案】(1)①;②见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）①求出函数的导数，得到切点，表示出切线方程，代入切点的坐标即可求解；②由，设，利用导数得到函数的单调性和最值，即可得到结论．（2）设通过讨论的范围，得到函数的单调性，根据得到，进而得到，设，得到单调减函数，即可作出证明．详解：（1）①因为，所以，由曲线在处的切点为，所以在处的切线方程为．因为切线过点，所以．②，由．设（），所以，所以在为减函数．因为，所以当时，有，则；当时，有，则；当时，有，则．（2）由题意，有两个不等实根，（）．设，则（），当时，，所以在上是增函数，不符合题意；当时，由，得，列表如下：0↗极大值↘由题意，，解得，所以，因为，所以．因为，所以，所以（）．令（），因为，所以在上为减函数，所以，即，所以，命题得证．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20.已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）满足要求的为.【解析】【分析】（1）由当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可求得an＝2an﹣1，则数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由．采用“累乘法”即可求得当n≥2时，bn+1﹣bn﹣1＝2，数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，即可求得数列{an}、{bn}的通项公式；（3）设cn，作差比较大小，cn＞cn+1＞1，根据数列的单调性，即可求得存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3．【详解】（1）由Sn＝2an﹣2，则当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，两式相减得：an＝2an﹣2an﹣1，则an＝2an﹣1，由S1＝2a1﹣2，则a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2n，（2）由．则，，，…，．以上各式相乘，，则2Tn＝bnbn+1，当n≥2时，2Tn﹣1＝bn﹣1bn，两式相减得：2bn＝bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1＝2，∴数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，由，则b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，∴数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴数列{bn}的通项公式bn＝n；（3）当n＝1时，无意义，设cn，（n≥2，n∈N*），则cn+1﹣cn0，即cn＞cn+1＞1，显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2＝7＞c3＝3＞c4＞…＞1，∴存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3，下面证明不存在c2＝2，否则，cn2，即2n＝3（n+1），此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的bn为b3，b7．【点睛】本题考查数列的综合应用，考查等比数列及等差数列的通项公式及证明，考查数列单调性的判断，考查转化思想，属于难题．数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到的点（1）求实数的值；（2）求矩阵的逆矩阵.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点，写出题目的关系式，列出关于a，b的等式，解方程即可．（2）计算即可得到矩阵的逆矩阵.【详解】解：（1）因为，所以所以．（2），．【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，属于基础题.22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为+1＝0。以极点O为坐标原点，极轴正方向为轴正方向建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数，），若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝，求的值。【答案】1【解析】【分析】运用同角的平方关系和，参数方程和极坐标方程为普通方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到r．【详解】由，得，即直线l的方程为．由，得曲线的普通方程为，故曲线C是圆心坐标为，半径为的圆，所以，圆心到直线的距离，由，则．【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆相交的弦长公式的运用，熟练掌握公式是解题关键．23.已知曲线(1)求曲线在点处的切线方程；（2）过点作直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程。【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）y＞0时，y，求导数，可得切线的斜率，从而可求曲线C在点处的切线方程；（2）设l：y＝kx代入y2＝2x﹣4，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求出线段AB的中点M的轨迹方程．【详解】（1）y＞0时，y，∴y′，∴x＝4时，y′，∴曲线C在点A（4，2）处的切线方程为y（x﹣4），即；（2）设l：y＝kx，M（x，y），则y＝kx代入y2＝2x﹣4，可得k2x2﹣2x+4＝0，∴△＝4﹣16k2＞0，∴设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2，∴y1+y2∴x，y，∴y2＝x（x＞4）．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．24.设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2．（1）设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；（2）设，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求|的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由二项式定理可得ak＝（﹣1）k•，再由二项式系数的性质，可得所求和为210；（2）由组合数的阶乘公式可得bk＝（﹣1）k+1•，再由组合数的性质，可得当1≤k≤n﹣1时，bk＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•（）＝（﹣1）k﹣1•（﹣1）k•，讨论m＝0和1≤m≤n﹣1时，计算化简即可得到所求值．【详解】（1）由二项式定理可得ak＝（﹣1）k•，当n＝11时，|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|（）＝210＝1024；（2）bkak+1＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•，当1≤k≤n﹣1时，bk＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•（）＝（﹣1）k+1•（﹣1）k+1•（﹣1）k﹣1•（﹣1）k•，当m＝0时，||＝||＝1；当1≤m≤n﹣1时，Sm＝b0+b1+b2+…+bm＝﹣1[（﹣1）k﹣1•（﹣1）k•]＝﹣1+1﹣（﹣1）m（﹣1）m，即有||＝1．综上可得，||＝1．【点睛】本题考查二项式定理和性质的运用，考查组合数公式和性质的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．