第四章动态系统的稳定性
分析
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1稳定性基本概念2李雅普诺夫意义下的稳定性3李雅普诺夫第一法4李雅普诺夫第二法5线性定常系统渐近稳定性判别法本章
内容
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：1.平衡状态：第一节李雅普诺夫稳定性定义A非奇异：解唯一,平衡点只有一个a.线性系统一、稳定性基本概念系统的平衡状态A奇异：令例：b.非线性系统2.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。系统不一定都存在平衡点；但系统也可能有多个平衡点；平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对多平衡点问题需针对各状态讨论。说明：二、李雅普诺夫意义下的稳定性定义4-2：说明：(1)考虑的是平衡状态的邻域(2)利用2范数定义该邻域，实质为一超球体(3)若状态空间为2维的，则平衡状态的邻域为以该状态为圆心，半径为H的圆定义4-2（续）二、李雅普诺夫意义下的稳定性几何意义：实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定无摩擦，等幅振荡定义4-3(渐近稳定)球受外力离开平衡点,存在摩擦力时,小球最终静止在A点。几何意义物理意义定义4-4(大范围渐近稳定)必要条件：只有一个平衡点。定义4-5(不稳定)对概念的几点说明：若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值应均有负实部。(2)若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡点。(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。对概念的几点说明：第二节李雅普诺夫间接法思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值或者说系统极点来判断系统稳定性。一、线性定常系统的稳定性(2)渐近稳定A的特征值均具有负实部。(3)不稳定A的特征值中至少有一个有正实部。说明：(1)劳斯判据依然适用。(2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。(1)李氏稳定A的约当
标准
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形J中，实部为0的特征值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均有负实部。线性定常系统的稳定性判别定理：解释：例1：李氏稳定不稳定李氏稳定李氏稳定不稳定例2：求A的特征值：得A特征值：不稳定二、非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判断时，应在平衡点处先线性化。高阶导数项判别定理：说明：(2)并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别;例：两个负实根，渐近稳定和有一个正实根，不稳定例：所以，系统在处不稳定实部为0，不能由A来判断稳定性第三节李雅普诺夫直接法李氏直接法通过找一个能量
函数
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V(x)来判断系统的稳定性。如果V(x)能量减小，系统可能稳定；V(x)增大，则系统不稳定。但并不是所有的系统都可以找到能量函数。一、函数的定号性例：二、二次型例：V(x)的定号性完全由P来确定。P的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。P的顺序主子式：希尔维斯特判据例：∵P的顺序主子式都大于0∴P是正定的∴V(x)正定例：不定例：负定Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建立在用能量分析稳定性的基础上。例：如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器B，质量M用V(x)表示系统的能量：∴V(x)随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间增大而趋于坐标原点。∴坐标原点是渐近稳定。定理4-2：对李氏函数的讨论：(1)V(x)是一正定标量函数，且对x具有一阶连续偏导。(2)对于一给定系统，若V(x)可找到，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。(3)V(x)的最简单形式是二次型函数，其中P为实对称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但V(x)并不一定都是简单的二次型。(4)V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。(5)由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如高阶非线性系统或时变系统。(6)只有V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。例：解：显然是正定的,且有连续一阶偏导判稳定性。例：判稳定性。始终位于圆上状态与平衡点的距离例：判稳定性。(1)(2)(*)解：(3)代入方程(*)中由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数。例：判稳定性。解：说明：系统的稳定域在单位圆内。例：判稳定性。解：二、克拉索夫斯基方法(构造李氏函数的方法)定理4-3：进一步：
证明
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：说明:(1)这种方法并不适用于所有系统;例：判稳定性。解：例：线性定常系统判稳定性。解：三、李雅普诺夫方程P应为正定实对称矩阵则任意确定一正定矩阵Q，则可求出P线性定常系统判别稳定性的充要条件。定理4-4：说明：例：线性定常系统判稳定性。解：顺序主子式说明：线性定常系统用李氏方程判稳定性并不一定方便，但提供了一种思维方式。例：如图所示控制系统，欲使系统渐稳，试确定增益K取值范围。解：写出状态方程：设R＝0(不影响稳定性)
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