PAGE12高二数学暑期专题辅导材料数列人教版一、要点透视数列是高中代数的主要内容，同是数列与高等数学联系密切。在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前n项和等。等差数列与等比数列是两个特殊数列，是本章的核心。由于数列可以看成是正整数集或其子集上的函数，因此，要注意用函数的观点和方法研究数列。二、知识复习有关概念：1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。2°数列的通项
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：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来
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示，这个公式就叫做数列的通项公式。3°数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前n项，且任一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。4°若数列{an}的前n项和为Sn则（2）等差与等比数列 等差数列等比数列 定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。即an-an-1=d，公差d可为正数、负数和零（A.P）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。即，公比q是一个不等于零的常数。（G.P） 通项公式（来源：定义，迭加，迭代）（证明）(定义,迭乘，迭代） 中项若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b。（充要条件存在唯一）若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G2=ab。G2=ab，仅是a，G，b成等比数列的必要非充分条件。 前n项和（倒序相加）（错位相减） 性质（1）（2）（3）若{an}为等差数列，则an，a2n，a3n也为等差数列（4）若{an}为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列（5）若{an}，{bn}都是等差数列，则{an+c}，{kan}，{an+bn}也是等差数列（其中k、c为任何常数）(1)（2）（3）若{an}为G·P，则an，a2n，a3n也为G·P（4）若{an}为G·P，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为G·P。（5）若{an}，{bn}都是G·P，则{kan}（k≠0），也是G·P。 充要条件（1）（常数）{an}为等差数列（2）（k、b不同时为0的常数）{an}为等差数列（3）不同时为0的常数）为等差数列（4）为等差数列（1）（q≠0常数）{an}为G·P。（2）常数）{an}为G·P。（3）（）为G·P。 三、典型例题例1．数列中，，求该数列的通项公式。解：由有：故数列是以为公比的等比数列，且首项为说明：一般地，形如为非零常数，，可变形为，其中，则是一个公比为的等比数列。例2．设是首项为1的正项数列，且，则其的通项公式。解：，即是各项为正的数列，由此有：说明：本题先得到，再采用连乘，从而得到数列的通项。当然，作为2000年的高考题，本题也可以计算，，，，…从而采用猜想可得若将变形为，视为整体，则，，，…，，…构成一个常数列，故，。例3．已知等差数列前三项为，4，，前n项和为，若求a及k的值；②求解：①设等差数列为，则，，由已知有，，公差，代入得即（舍去），由例4、设数列的前n项和，设，求证数列是等比数列。解：当时，，当时，，，，故数列为等比数列，且其通项公式为而所以数列是以为首项，为公比的等比数列。例5、已知n为正整数，，解关于x的不等式：解：原不等式左边化为原不等式可化为：①当为奇数时，，则不等式等价于即因为，，故不等式的解集为；②当为偶数时，，则不等式等价于，则即或，则不等式的解集为综上所述：当为奇数时，原不等式的解集为；当为偶数时，原不等式的解集为例6．设，，且集合为单元素集合。①求的表达式；②已知数列满足条件，且。求的值。解：①由得对于方程㈠若是方程㈠的解且的解也为，此时，若是方程㈠的解，且无解，即无解，则，，此时，。若不是方程㈠的解，即使得分母，此时，，，即综上可知的表达式为：或或②对于，则，且对于有，且故对于则有，故例7．设，，是函数的反函数图象上不同三点，如果使得成等差数列的实数有且仅有一个，试求实数的取值范围。解：是的反函数上不同三点，关于直线的对称点，，在的图象上。即又、、成等差数列，则即原问题转化为使方程有且仅有一有且满足或者有两个相等的实根且满足。由时，，此时满足时，，此时满足且故必须使不满足或。而必须使，即解得综上所述或。巩固习题1．成等差数列，和依次成等比数列，则2．在等差数列中，已知，，则3．三个正数成等比数列，若是的等差中项，为的等差中项，则的值为4．数列的通项，则的前项和为5．数列的前项和满足，则通项6．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则7．数列中，，，那么该数列中相领两项乘积为负的是和。8．某工厂生产总值月平均增长率为P，则年平均增长率为9．某正项等比数列的首项为，其前13项的几何平均值为，前13项中去掉一项后的几何平均值为，则去掉的是第项。10．首项相等的正项等差数列和等比数列，若，则和的大小关系是11．若，则数列，，…，前项和为12．数列的前项和为13．两个等差数列和，它们的前项和分别为和，若，则14．有四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5后又依次成等比数列，求此四个数。15．已知数列前项和。数列中，，且存在常数C使得对一切正整数，恒好常数，试求出和M的值。16．数列和中，成等差数列，，，成等比数列，且，，设，求数列的通项公式。17．函数，数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，若，，，①求、的通项公式；②设数列对任意自然数均有：成立，求的值。参考答案1．122．—183．24．5．6．7．和8．9．1310．11．12．13．14．15．，16．17．①，②
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