在前面讨论的问
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中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰撞，两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触、速度发生突然改变的力学现象称为碰撞。物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。碰撞是工程中常见而非常复杂的动力学问题，本章在一定的简化条件下，讨论两个物体间的碰撞过程中的一些基本规律。动力学第十七章碰撞§17–1碰撞的分类碰撞问题的简化§17-2用于碰撞过程的基本定理§17–3质点对固定面的碰撞恢复系数§17–4碰撞问题举例§17–5碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用撞击中心小结第十七章碰撞动力学第十七章碰撞 §17-1 碰撞的分类碰撞问题的简化碰撞：运动或静止的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为碰撞。1.碰撞的分类两物体碰撞时，按其相处位置划分，可分为对心碰撞、偏心碰撞与正碰撞、斜碰撞。动力学第十七章碰撞碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力（或称瞬间力）。若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称为对心碰撞，否则称为偏心碰撞。动力学第十七章碰撞两物体碰撞时，按其接触处有无摩擦，可分为光滑碰撞与非光滑碰撞。两物体相碰撞时，按物体碰撞后的恢复程度（或能量有无损失），可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。动力学第十七章碰撞若碰撞时各自质心的速度均沿着公法线，称为正碰撞，否则称为斜碰撞。按此分类还有对心正碰撞，偏心正碰撞。上图中左图所示即为对心正碰撞。动力学第十七章碰撞碰撞现象的特点是时间极短，一般为10-3~10-4s，速度改变为有限值，加速度变化巨大，碰撞力极大。2.对碰撞问题的两点简化设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间∆t=1/1000s,碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块的力的平均值。以榔头为研究对象，根据动量定理投影形式为碰撞力的变化如图，平均打击力为是榔头重的765倍。 可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。害的一面：“鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。动力学第十七章碰撞动力学第十七章碰撞2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限值，物体在碰撞开始和碰撞结束的位置变化很小，因此在碰撞过程中，物体的位移忽略不计。根据碰撞的上述特点，在研究一般碰撞问题时，通常做下面两点简化：1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通力远远不能够与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计； §17-2用于碰撞过程的基本定理由于碰撞力变化复杂，不宜直接用力或者运动微分方程来描述碰撞过程；又由于用力的功难以计算碰撞过程机械能的损失，因此也不宜用动能定理来描述碰撞过程中能量的变化。而对由于碰撞冲量的作用使物体运动速度发生的变化可以用动量定理和动量矩定理的积分形式来研究。动力学第十七章碰撞动力学第十七章碰撞1、用于碰撞过程的动量定理——冲量定理。设质点的质量为m，碰撞开始时的速度v，结束瞬时的速度v’,则质点的动量定理为其中I为碰撞冲量，普通力冲量忽略不计。设Ii(e)为外碰撞冲量、Ii(i)为内碰撞冲量。对质点系中第i个受碰撞的质点，有相加后，并考虑Ii(i)=0，得上式即为用于碰撞过程的质点系动量定理，它不计普通力的冲量，也称冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。质点系的动量也可用总质量与质心速度的乘积计算。则2、用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理。动力学第十七章碰撞由用于碰撞过程的动量定理对上式两边矢积矢径ri得上式也称为碰撞时的质心运动定理动力学第十七章碰撞将n个方程求和即上式中riIi(e)为冲量矩，其中不计普通力的冲量矩。该式是用于碰撞过程的动量矩定理，又称冲量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。 3、碰撞时的刚体平面运动方程质点系相对于质心的动量矩定理与对于固定点的动量矩定理具有相同的形式，如此推证相似，可以得到用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理对平行于其对称面的平面运动刚体，有上式成为动力学第十七章碰撞再结合以上称为刚体平面运动的碰撞方程。 §17-3质点对固定面的碰撞恢复系数设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上，如图所示。动力学第十七章碰撞第一阶段：开始接触至变形达到最大。该阶段中，小球动能减小,变形增大。设碰撞冲量为I1，则应用冲量定理在y轴投影式第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为I2，则：该碰撞过程分为两个阶段：动力学第十七章碰撞动力学第十七章碰撞由于碰撞过程有能量损失（发光、发热、发声等），一般v’小于v，但牛顿发现，其比值对于材料确定的物体几乎不变。即常数k称为恢复因数，且恒取正值。 恢复因数k一般需实验确定，用待测定恢复因数的材料做成小球和质量很大的平板，如图所示，测定小球下落高度h1和小球弹起高度h2，则则恢复因数为动力学第十七章碰撞恢复因数
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示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物体变形恢复的程度，并且反映出碰撞过程中机械能损失的程度。动力学第十七章碰撞k=0为极限情况，物体在碰撞结束后变形丝毫没有恢复，称为非弹性碰撞或塑性碰撞。一般0
q，在不考虑摩擦的一般情况下，如碰撞前后两个物体都在运动，此时恢复因素定义为式中和分别为碰撞前后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。动力学第十七章碰撞 §17-4碰撞问题举例动力学第十七章碰撞1、正碰撞结束时两质心的速度例如：两物体质量分别为m1和m2，恢复因素为k，产生对心正碰撞，已知碰撞前分析碰撞结束时两质心的速度和动能损失。分析：以两物体组成的系统研究对象。由动量定理，得：碰撞前v1>v2碰撞后v'2>v'1列出补充方程：动力学第十七章碰撞联立解得对于完全弹性碰撞（k=1）：(碰撞后两物体交换速度) 对于塑性碰撞（k=0）：对于一般情况（00或2>0。在ω2→0的临界情形时,v0趋近于最小速度v01,代入(3)得由此求得所需的最小速度根据积分形式的动能定理T2－T1＝∑W,有Dω2G(c)动力学第十七章碰撞A，B两球大小相同，质量相等。球A以速度v1=2m·s－1撞击静止的球B。碰撞前球A球心的速度与球B相切，如图所示。设碰撞是光滑的。恢复系数k=0.6，求碰撞后两球的速度。BAO1OTv1(a)ttnnoαβo1ABABTm1m1m2m2v1v2=0u1u2(b)动力学第十七章碰撞[例5]动力学第十七章碰撞考察球A，因碰撞力沿法线n-n方向，其沿切线t-t的动量不变，即由直角三角形OO1T可求得，碰撞前球B的速度为零，。碰撞后球B的速度u2沿n-n线，球A碰撞后的速度u1与公切线t-t成β角。根据动量守恒定理，沿n-n方向动量守恒，(a)(b)解：BAO1OTv1(a)ttnnoqβo1ABABTm1m1m2m2v1v2=0u1u2(b)动力学第十七章碰撞由（a），（b）和（c）三式，代入。又因m1=m2，得又知恢复系数(c)求得BAO1OTv1(a)ttnnoqβo1ABABTm1m1m2m2v1v2=0u1u2(b)动力学第十七章碰撞滚珠轴承中钢球的检验装置简图如图所示。钢球从H=1m高度静止落下，撞在一斜置的重钢板光滑平面上（倾角θ=10º）。如要求恢复系数小于0.7的钢球，碰撞后回跳时不能超过固定障碍A，求挡板上端A点的位置xA，yA应为多少？xtyAntHnxAθγβjyAv1u1动力学第十七章碰撞[例6]动力学第十七章碰撞恢复系数为，此处，Oy轴与切线t-t之间的夹角j为设钢球质量为m，重钢板质量为M，。碰撞前后钢板不动，即v2=u2=0。解:因碰撞力沿法线n-n方向，故切线t-t方向的动量不变，得解联立方程，求得：动力学第十七章碰撞xtyAntHnxAθγβjyAv1u1由此可知钢球碰撞后的速度u1的大小和方向
决定
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于k。令k=0.7，代入数据，求得根据物理学抛射体的轨迹公式得知xA等于射程之半，yA等于最高点高度，且已知，仰角，则可求得：动力学第十七章碰撞xtyAntHnxAθγβjyAv1u1两个质量相等的球1和2，碰撞前的速度分别为v1=2m·s－1和v2=3m·s－1，方向如图所示。设恢复系数为k=0.60，求碰撞后每球的速度和碰撞时所损失的动能占原有动能的百分比。βmm21ttnnv2v1u2u1动力学第十七章碰撞[例7]动力学第十七章碰撞设两球质量均为m，假设两球碰撞后速度为u1和u2。因每个球碰撞前后在切线方向的动量不变，故u1必沿法线方向。设u2与法线的夹角为β，则（a）因整个质点系动量守恒，故沿法线n-n方向的动量守恒投影式为（b）解:1.求碰撞后每球的速度。βmm21ttnnv2v1u2u1动力学第十七章碰撞式（d）+（e）得由式（a），（b）和（c），可求得三个未知量u1，u2和β。由式（c）得由式（b）得（e）（d）此外由恢复系数的定义，得（c）βmm21ttnnv2v1u2u1动力学第十七章碰撞代入数据求得代入式（a）由式（a）和（e），消去u2，得βmm21ttnnv2v1u2u1动力学第十七章碰撞动能的损失2.碰撞时所损失的动能占原有动能的百分比。碰撞前动能损失的动能占原有动能的百分比为βmm21ttnnv2v1u2u1动力学第十七章碰撞匀质薄球壳的质量是m，半径是r，以质心速度vC斜向撞在水平面上，vC对铅直线成偏角q。同时球壳具有绕水平质心轴(垂直于vC)的角速度w0。假定碰撞接触点的速度能按反向全部恢复(k=k´=1)，求碰撞后球壳的运动。w0CyvCIFINxAuCqβ动力学第十七章碰撞[例8]动力学第十七章碰撞解：球壳作平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向反力的冲量IN和瞬时摩擦力的冲量IF。设碰撞结束时质心速度是uC，绕质心轴的角速度是ω(
规定
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以逆钟向为正)。写出质心冲量方程和对质心的冲量矩方程，并注意球壳对质心轴的转动惯量JC=2Mr2／3，有w0CyvCIFINxAuCqβ动力学第十七章碰撞由恢复系数的定义可知，在完全弹性碰撞结束后，接触点的切向和法向相对速度都按相反方向全部恢复。以vA和uA分别表示碰撞始末接触点A的速度，则有由运动学知从而可得w0CyvCIFINxAuCqβ动力学第十七章碰撞于是，上面两个等式()就可写成联立求解上列方程(1)(5)，就可得到需求的全部答案。w0CyvCIFINxAuCqβ动力学第十七章碰撞(a)由式(a)可以求出球壳回跳时的角度β，有这个结果表明β有可能取任意的数值，只要vC，q和w配合适当。w0CyvCIFINxAuCqβ动力学第十七章碰撞均质细杆长l，质量为m，以速度v平行于杆自身而斜撞于光滑地面，杆与地面成角θ，如图所示。若为完全弹性碰撞，试求撞后杆的角速度。xyvACθ动力学第十七章碰撞[例9]动力学第十七章碰撞地面光滑，杆只受有y方向的碰撞冲量I，杆沿x方向动量守恒。设杆撞后质心C的速度为v'C，角速度为w，如图所示。则x方向有沿y轴投影为由平面运动基点法得知点A速度为(a)解：xywvv'Cyv'Cv'Cxv'Ayv'Av'AxACIθ动力学第十七章碰撞撞击点A在碰撞前的法向速度为，由恢复系数对质心C的冲量矩定理为冲量定理沿y轴投影式为代入式（a），得(b)(c)(d)xywvv'Cyv'Cv'Cxv'Ayv'Av'AxACIθ动力学第十七章碰撞由(c)、（d）二式消去I，得解出代入式（b），得即xywvv'Cyv'Cv'Cxv'Ayv'Av'AxACIθ动力学第十七章碰撞均质杆AB长为l，质量为m，如图所示。设杆在铅直面内保持水平下降，杆与固定支点E碰撞，前其质心的速度为v0，恢复系数为k。求碰撞后杆的质心速度uy和杆的角速度Ω。已知E点到杆左端的距离为。Ωyxl1lECuyv0E'I动力学第十七章碰撞[例10]不考虑碰撞时杆的弹性振动，可看成是刚体碰撞的突加约束问题。E为固定障碍，碰撞前杆作平动，碰撞后杆作平面运动。作Exy坐标轴，Ey向下为正。图上所表示的方向均假设为正。应用投影式，得（a）（b）解：上面三个未知量uy，Ω，S，故还需建立一个方程才能求解。动力学第十七章碰撞Ωyxl1lECuyv0E'I注意，碰撞前E'的速度为v0（方向向下），碰撞后E'点的速度是质心速度uy（方向向下）与杆绕质心转动的速度（方向向上）的代数和，故得（c）上面三个未知量uy，Ω，S，故还需建立一个方程才能求解。Ωyxl1lECuyv0E'I动力学第十七章碰撞由式（a），（b）和（c），消去I，求得代入得Ωyxl1lECuyv0E'I动力学第十七章碰撞若为弹性碰撞，k=1，此时求得若为塑性碰撞，k=0，则负号表示碰撞后质心C的速度向上，与碰撞前速度v0的方向相反。Ωyxl1lECuyv0E'I动力学第十七章碰撞k=1k=0动力学第十七章碰撞一均质圆柱体，质量为m，半径为r，其质心以匀速vC沿水平面作无滑动的滚动，突然与一高度为h（h
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