【状元之路】2020届高中数学 集合与简易逻辑1-2 文 大纲人教版

PAGE对应学生书P155一、选择题1．不等式x(1－2x)＞0的解集是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))　　　　　　　B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：x(1－2x)＞0⇔xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜0⇔0＜x＜eq\f(1,2). 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：B2．不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))＜1的解集为(　　)A．{x|0＜x＜1，或x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|－1＜x＜0}D．{x|x＜0}解析：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))＜1，可得|x＋1|＜|x－1|，得(x＋1)2＜(x－1)2，化简，得4x＜0，故x＜0.答案：D3．不等式lg|x＋1|＜0的解集为(　　)A．(－∞，－1]B．(－2,0)C．[－2，－1)∪(－1,0)D．(－2，－1)∪(－1,0)解析：lg|x＋1|＜0⇔lg|x＋1|＜lg1⇔0＜|x＋1|＜1⇔－1＜x＋1＜1，且x＋1≠0⇔－2＜x＜0，且x≠－1⇔－2＜x＜－1，或－1＜x＜0.答案：D4．不等式eq\f(x＋5,x－12)≥2的解集是(　　)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))∪(1,3]D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1,3]解析：方法一：首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)(x－3)≤0，解得－eq\f(1,2)≤x≤3.故原不等式的解集是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1,3]．方法二(特殊值检验法)：首先x≠1，排除B；显然x＝0，x＝2是不等式的解，排除A、C；选D.答案：D5．不等式x2－|x|－2＜0的解集是(　　)A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2，或x＞2}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|x＜－1，或x＞1}解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2＜0⇔(|x|－2)(|x|＋1)＜0⇔|x|－2＜0⇔－2＜x＜2.答案：A6．不等式|x－2|＋|x＋1|＜5的解集为(　　)A．(－∞，－2)∪(3，＋∞)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．(－2,4)D．(－2,3)解析：分区间讨论可得原不等式的解集为(－2,3)．答案：D7．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)＜a＜eq\f(1,2)解析：依题意知x－a－x2＋a2＜1恒成立，即(x－eq\f(1,2))2＋(a＋eq\f(3,4)－a2)＞0恒成立⇔a2－a－eq\f(3,4)＜0恒成立⇔－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2).答案：C8．(2020·东北三校联考)若集合M＝{a||x－2010|＋|x－2009|≤a在R上有解}，N＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁RN)∩M为(　　)A．∅　　　　B．M　　　　C．N　　　　D．{1}解析：∵|x－2010|＋|x－2009|≥|(x－2010)－(x－2009)|＝1，∴M＝{a|a≥1}，∴M＝{y|y≥1}．又N＝{x|x＞1}，∴∁RN＝(－∞，1]，∴(∁RN)∩M＝{1}.答案：D二、填空题9．(2020·山东)不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为__________．解析：|2x－1|－|x－2|＜0⇔|2x－1|＜|x－2|⇔(2x－1)2＜(x－2)2⇒x2＜1，解得－1＜x＜1.答案：{x|－1＜x＜1}10．(2020·湖北)已知关于x的不等式eq\f(ax－1,x＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，则a＝__________.解析：eq\f(ax－1,x＋1)＜0⇔(ax－1)(x＋1)＜0.又其解集为(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，可知a＜0.故(ax－1)(x＋1)＜0⇔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x＋1)＞0.结合原不等式的解集，有eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)⇒a＝－2.答案：－211．(2020·辽宁锦州期末)不等式|x－3|＋|1－x|＜3的解集是__________．解析：不等式|x－3|＋|1－x|＜3等价于数轴上的动点到定点1,3的距离之和小于3的解集，易知x＝eq\f(1,2)或eq\f(7,2)时|x－3|＋|x－1|＝3，故解集是{x|eq\f(1,2)＜x＜eq\f(7,2)}．答案：{x|eq\f(1,2)＜x＜eq\f(7,2)}12．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b的取值范围为__________．解析：∵|3x－b|＜4，∴eq\f(b－4,3)＜x＜eq\f(b＋4,3).依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜\f(b－4,3)＜1，,3＜\f(b＋4,3)＜4，))∴5＜b＜7.答案：(5,7)三、解答题13．解不等式(|3x－1|－1)(sinx－2)＞0.解析：因为对任意x∈R，sinx－2＜0，所以原不等式等价于|3x－1|－1＜0.即|3x－1|＜1，－1＜3x－1＜1,0＜3x＜2,0＜x＜eq\f(2,3).所以原不等式的解集为{x|0＜x＜eq\f(2,3)}．14．已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，满足f(－1)＝－2，且对一切实数x，都有f(x)≥2x.(1)求a、b；(2)在(1)的条件下，求f(x)的最小值．解析：(1)由已知得f(－1)＝1－(lga＋2)＋lgb＝－2，∴1＝lga－lgb，∴a＝10b.又∵f(x)≥2x恒成立，∴x2＋xlga＋lgb≥0对任意的x恒成立．∴Δ＝(lga)2－4lgb≤0，∴(lga)2≤4lgb.∵a＝10b，∴(lg10b)2≤4lgb，∴(1＋lgb)2≤4lgb⇒(lgb－1)2≤0.又∵(lgb－1)2≥0，∴lgb－1＝0⇒b＝10，a＝100.∴a＝100，b＝10.(2)由(1)知f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3，∴当x＝－2时，f(x)的最小值为－3.15．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)当不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)时，求实数a、b.解析：(1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a2＋6a＋b－3.∵f(1)＞0，∴－a2＋6a＋b－3＞0，a2－6a－b＋3＜0.又Δ＝24＋4b，当b≤－6时，Δ≤0，∴f(1)＞0的解集为∅；当b＞－6时，Δ＞0，解方程a2－6a＋3－b＝0，a1＝eq\f(6－\r(24＋4b),2)＝3－eq\r(b＋6)，a2＝eq\f(6＋\r(24＋4b),2)＝3＋eq\r(b＋6).∴3－eq\r(b＋6)＜a＜3＋eq\r(b＋6)，∴f(1)＞0的解集为{a|3－eq\r(b＋6)＜a＜3＋eq\r(b＋6)}．综上可知，当b≤－6时，不等式的解集为∅；当b＞－6时，不等式的解集为{a|3－eq\r(b＋6)＜a＜3＋eq\r(b＋6)}．(2)∵不等式－3x2＋a(6－a)x＋b＞0的解集为(－1,3)，∴3x2－a(6－a)x－b＜0的解集为(－1,3)．∴x1＝－1，x2＝3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\f(a6－a,3)，,3＝\f(b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝9.))