1/1圆锥曲线经典
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型一．选择题（共10小题）21.直线y=x-1与双曲线X2-.=1（b>0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（A.(1,(■_：2+*)B.('.：2，+QC.(1，+Q2ny0）是双曲线C：=1上的一点,个焦点，若・MF；<0，则『0的取值范围是（）2.已知M(x0.F1，f2是C的左、右两A.右焦点，若双曲线为坐标原点，且b>0）的右焦点F作直线y=-^x的垂线，垂a223.设F],F2分别是双曲线（a>0，b>0）的左、且忙b右支上存在一点P，使得（op4-OF2>F2P=0,其中0TOC\o"1-5"\h\z|PF1|=3|pf2I，贝V该双曲线的离心率为（）A.igB.石C.224.过双曲线务-倉=1(a>0,a2b2足为A，交双曲线左支于B点，若FE=2臥，则该双曲线的离心率为（）A.二B.2C.話D.■万22若双曲线=1（a>0,b>0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=2相交，则/b2此双曲线的离心率的取值范围是（）A.（2,+*）B.（1,2）C.（1,立）D.C迈，+*）22已知双曲线C：的右焦点为F,以F为圆心和双曲线且b的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A.字B.育C.ED.222设点P是双曲线=1（a>0,b>0）上的一点，F］、F2分别是双曲线且忙的左、右焦点，已知PF］丄PF2,且|pf」=2|pf2|,则双曲线的一条渐近线方程是（）A.尸■卫工B.尸.；3忙C.y=2xD.y=4x228已知双曲线.的渐近线与圆X2+（y-2）2=1相交，则该双曲线的离且b心率的取值范围是（）A.(i3,+QB.(1,■/3)C.(2.+QD.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,■/2),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是（)只2A.X2-=12B.222=122C._y2=136DU10.已知F是双曲线C：X2-才1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂TOC\o"1-5"\h\z直，点A的坐标是（1,3），则厶APF的面积为（）A.B.C.D.色3232二.填空题（共2小题）2过双曲线的左焦点F］作一条丨交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点，则APF?©的周长是.22设F］,F2分别是双曲线•的左、右焦点，若双曲线右且忙支上存在一点P,使（0P+0F^）'F^P=0，O为坐标原点，且I丽訂二J引丽贝y该双曲线的离心率为三．解答题（共4小题）2已知点F］、F2为双曲线C：X2-.=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点皿，/皿卩占2=30°.（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P］、P2，求pp］•折匚的值.2222已知曲线C_,:,「耳=1（a>0，b>0）和曲线C2：.+—1有相同的焦1/护253点，曲线C］的离心率是曲线c2的离心率的•育倍.（I）求曲线C］的方程；（口）设点A是曲线C］的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C］的右支于点B，作BC垂直于定直线I：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定2点.22已知双曲线「：的离心率e「亏，双曲线「上任意一且2b2点到其右焦点的最小距离为七-1.（I）求双曲线「的方程；（口）过点P（1，1）是否存在直线I,使直线I与双曲线「交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线I存在，请求直线I的方程；若不存在，说明理由.22已知双曲线C：的离心率e='：W，且b=_迈./b2（I）求双曲线C的方程；（口）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且PE^F=0，求APEF的面积.一．选择题（共10小题）21.直线y=x-1与双曲线X2-.=1（b>0）有两个不同的交点，则此双曲线离b2心率的范围是（）A.（1,•巨）B.（E,+*）C.（1,+*）D.（1,T2）U（i2,+12【解答】解：•・•直线y=x-1与双曲线X2-=1（b>0）有两个不同的交点，b2・・・1>b>0或b>1.e=2=.；]+£2>1且e^<2.2n2.已知M（x°,y°）是双曲线C：:=1上的一点，F],F2是C的左、右两个焦点，若巧讪芥。,则y0的取值范围是（）【解答】解：由题意，^^・帀蔦=（-匚3-x0，-y0）•（匚3-x0，-y0）=x02-3+y02=3y02-1<0,所以-¥
0,b>0）的左、右焦点，若双曲线azb右支上存在一点P，使得（qpH-OF2）'F2P=0,其中0为坐标原点，且Iff]1=3|pf\；I，贝U该双曲线的离心率为（）A.近B.•帀C.D.号【解答】解：取pf2的中点A，则T（帀+亟）•兀E，・・・0衣丄兀异V0是F]F2的中点・•・OA〃PF]，•••PF]丄PF2，v|pfx|=3|pf2|，2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|，V|PFx|2+|PF2|2=4c2，]0a2=4c2，e仝故选C.【解答】解：设F(c,0),则直线AB的方程为y=2(x-c)代入双曲线渐近b线方程y=-b得A(旦I,-业)，TOC\o"1-5"\h\z曰匚C--2_2_由丽=2冠，可得B(-空L),3c3c22把B点坐标代入双曲线方程务-耳=1，即=1,整理可得c=7^a,a2已知双曲线C：的右焦点为F,以F为圆心和双曲线且2b2的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为()9c2即离心率e=E=.：5-故选：C.22若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2相交，则ab2此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+*)B.(1,2)C.(1,■.迈)D.('_迈，+*)【解答】解：°・°双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆(x-2)2+y2=2相交・••圆心到渐近线的距离小于半径，即・•b21•l0,b>0)上的一点，F］、F2分别是双曲线且工bz的左、右焦点，已知PF］丄pf2,且|pf」=2|pf2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.尸匹XB.尸C.y=2xD.y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF」-|PF2l=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a；在RTAPFF2中，|卩上|2=|PF］|2+|pf2|2,・°・4c2=16a2+4a2，即C2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,22双曲线，=1一条渐近线方程：y=2x；ab2故选：C．228已知双曲线•的渐近线与圆X2+(y-2)2=1相交，则该双曲线的离a2b2心率的取值范围是()A.(iE，+*)B.(1,■帀)C.(2.+*)D.(1,2)【解答】解：双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆X2+(y-2)2=1相交・••圆心到渐近线的距离小于半径，即V1・・3a2Vb2，・C2=a2+b2>4a2，•・e=2>2故选：C.9.如果双曲线经过点P(2,2)，且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是()R2a.X2-=1222b.—=12222C.—=136【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为X2-y2=A(入HO)，代入点P(2,2)，可得入=4-2=2，可得双曲线的方程为X2-y2=2，故选：B.210.已知F是双曲线C：X2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂3直，点A的坐标是(1,3)，则厶APF的面积为()a.b.c.d.332322【解答】解：由双曲线C：x2-=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直，设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),・・・AP丄PF,则丨AP|=1,|PF|=3,•••△APF的面积S=1x|AP|x|PF|=@,22同理当yv0时，则AAPF的面积S=3,2二．填空题（共2小题）211.过双曲线的左焦点叫作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点，则APF?©的周长是一20解答】解：V|PF1|+|QF1|=|PQ|=8222・・•双曲线x2-的通径为==8•・・PQ=8・・・PQ是双曲线的通径・・・PQ丄F]F2,且PF1=QF1^PQ=4・・•由题意’iPFzI-lPtT'lQFzI-lQF]^・•・|PF2|+|QF2|=|PF]|+|QF]|+4=4+4+4=12•••△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20．22设F］,F2分别是双曲线，的左、右焦点，若双曲线右a2b2支上存在一点P,使］0P+0F2)•F2P=0，O为坐标原点，且I丽訂二;引亟|,则该双曲线的离心率为—方+1_.【解答】解：取PF2的中点A,则T(帀+亟)•耳二0，・・20£・巧£=0,・••西丄亏，VOA是的中位线，•PF,丄PF2,OA丄PFj.121由双曲线的定义得〔PFj-IPFzTa,v|pf1|^3|pf2|,・叫=，|PF」='△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2,•・C■)2+()2=4C2,V3-1V3-1・•e=13+1.故答案为：i空+1.三.解答题(共4小题)2已知点F］、F2为双曲线C：X2「=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点皿，/皿卩占2=30°.(1)求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P］、P2,求丽］•丽^的值.【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为0）,（订十bSyj，2因为点M在双曲线C上，所以1+订普二1，即坯二±1?，所以|MF2|=b222已知曲线C1：「耳=1（a>0,b>0）和曲线C2：.+工二1有相同的焦1/护253点，曲线C1的离心率是曲线c2的离心率的•育倍.（I）求曲线C1的方程；（口）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线I：x=，垂足为C,求证：直线AC恒过x轴上一定，在R/MFqFi中，ZMFiF2=30°,山％|二/,所以IMF］|二恥乙…（3分）由双曲线的定义可知：|MF］卜丽2I二汇二22故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为1］：；窣-尸612：.:存+尸0…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为0,则点Q到两条渐近线的距离分别为叭=七必，陀I上屮，…（11分）2所以耳.丽孑因为Q（x0，y°）在双曲线C：上,IV2Ka+y0|念『_牝打12((14分）点．八、、•【解答】（I）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为WL（2分）V5・°・a=b=1,・°・曲线q的方程为X2-y2=1；…（4分）（口）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+■，迈…（5分）与双曲线方程X2-y2=1联立，可得（n2-1）y2+2・.Eny+1=0设A（X],yx）,B（x2，y2），则yx+y2=-，y』2=，…（7分）TOC\o"1-5"\h\zn-1n-1由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y-y2=]y1（x-乎）…（9分）丁-勺・•・直线AC过定点（¥，0）.…（12分）22已知双曲线「：的离心率e=込，双曲线「上任意一且2b2点到其右焦点的最小距离为I亏-1.（I）求双曲线「的方程；（口）过点P（1，1）是否存在直线I,使直线丨与双曲线「交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由.【解答】解：（I）由题意可得巳亠込，a当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c-a<3-1,解得a=1,c=.：3，b=：2，2可得双曲线的方程为X2-■=1；2（口）过点P（1,1）假设存在直线I,使直线丨与双曲线「交于R、T两点，且点P是线段RT的中点.22设R（X],yx）,T（x2，y2），可得x”-^—=1,x,-^—=1,两式相减可得％-x2）（X]+x2）=寺（yx-y2）（yx+y2），由中点坐标
公式
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可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线丨的斜率为k===2,即有直线丨的方程为y-1=2（x-1），即为y=2x-1,代入双曲线的方程，可得2x2-4x+3=0,由判别式为16-4X2X3=-8V0,可得二次方程无实数解．故这样的直线丨不存在．・•・双曲线C的方程庄斗二\；（II）令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义：|p-q|=2a=2平方得：p2-2pq+q2=4況•可=0,ZEPF=90°,由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即s=L|pe|・|pf|=2.222过双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点F作直线y=-H的垂线，垂a2b2a足为A，交双曲线左支于B点，若丽=2冠，则该双曲线的离心率为（）A.B.2C.■汚D.'..'72216.已知双曲线C：的离心率e='.：2，且b^2.且2b2（I）求双曲线C的方程；（口）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且況•可=0,求APEF的面积.22【解答】解：（I）TC：的离心率e='.：E，且b=■-迈,ab2・°.£=T3，且b=.：2，・・a=1,c='.-;3
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