竞赛课件12：机械振动二三事

平衡位置所在位置x0在平衡位置时：mgkx0xmgk(x0+x)在距平衡位置x处时：则该振动系统做简谐运动,且周期为振动系统1竖直面内振动的弹簧振子mgTF回当θ角很小时OB则有l振动系统2单摆如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端与质量为m的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将a无初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为μ，试说明A将做什么运动？在平衡位置时：a平衡位置Ax在距平衡位置x处时：振动系统3a该振动系统做简谐运动,且周期为va　　　　　如图所示，密度为ρ的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为α、β，液柱总长为l．若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期．毛细管作用及摩擦忽略不计．x0该液片在平衡位置时：h0取管之底端一截面积为s的液片若液柱向右侧振动,液片在平衡位置右侧x时：xx专题12-例2xLRABＯdFF回可知小球在隧道中做简谐运动!小球过平衡位置时速度最大,为:r　　　　　如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力．试求小球的最大速度，以及小球从A到B所需时间．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，A和B之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转．专题12-例3FBFAABORrx质点在平衡位置O时：质点在距平衡位置x的某位置时：　　　　　力心A、B相距l，一质量为m的质点受与距离平方反比的有心斥力作用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情况．专题12-例5≈在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方向一小角度θ时，乙摆线仍为竖直乙甲MgF回由简谐振动周期公式：M+m如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l，乙球摆线很长，两球在同一水平面上静止．现使之做小振幅的摆动，它的周期是．框架处于静止,受力如图:MgABCmgf对C点必有:x对松鼠有:可知松鼠做谐振且有:三根长度均为l＝2.00m，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，Ｃ点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述．当重物位置在距铰接点l时,系统处于平衡时,若弹簧形变量为x0受力如图:Ｌlkx0mg振动中重物有一对平衡位置位移x时,重物受力如图:xmgFN轻杆受力如图:对轻杆有对重物有长度为Ｌ的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系数为k的弹簧上，如图．试确定铁杆小振动周期与质量为m的重物在杆上的位置之关系．木板处于平衡位置时,受力如图mglF右F左f若木板有一位移-重心向右轮移过x时OxF右F左fmg如图，质量为m的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上．设轮与木板间摩擦因数为μ，两轮间距离l，平衡时长木板重心在l/2处．若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期．x⑴若左轮不光滑且顺时针转动,lOkx0x0板在平衡位置时有mgF左设再向右有一小位移x时此时如图，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间的距离为l，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为μ，而在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动．用一劲度系数为k的弹簧将板连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋转起来．问摩擦因数μ为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简谐运动？振动的圆频率是多少？⑵若左轮不光滑且逆时针转动,lOxkx0x0板在平衡位置时有mgF左设再向左有一小位移x时此时右轮不光滑且逆时针转动同⑴右轮不光滑且顺时针转动同⑵质点P以角速度ω沿半径为R的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点P在某直径上的投影的运动为简谐运动．xRFnP所受向心力FnPP的投影运动所受回复力FxFx令为kOxy∴简谐运动的周期公式为∵参考圆运动的周期简谐运动的速度公式为简谐运动的位移公式为AOxyxωAPvvPωA根据题给条件，物体振动方程为⑴⑵得⑷⑶质量为10g的物体做简谐运动，振幅为24cm，周期为4s；当t＝０时坐标为+24cm.试求⑴当t＝0.5s时物体的位置．⑵当t＝0.5s时作用在物体上力的大小和方向．⑶物体从初位置到x＝-12cm处所需的最短时间．⑷当x＝－12cm时物体的速度．⑴作如图所示谐振参考圆，由图得v8610Ox⑵⑶路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供：一物体在水平面上做简谐运动，振幅为10cm，当物体离开平衡位置6cm时，速度为24cm/s．⑴问周期是多少？⑵当速度为±12cm/s时，位移是多少？⑶如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？⑴确定摆球振动的平衡位置；⑵确定摆在此位置时摆线上的力FT；⑶等效的重力加速度由理想单摆周期公式，通常可由三条途径确定T：．★确定等效悬点及摆长⑴联结两悬点的直线为转轴；⑵摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；⑶取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长★确定等效的重力加速度．★确定等效的圆频率⑴确定摆球振动中的机械能守恒关系⑵比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式⑶在同一参考圆下提取等效的角速度示例示例示例若单摆在加速度竖直向上的电梯中做小幅振动，在振动的“平衡位置”amgFT则若单摆在加速度水平向左的车厢中做小幅振动，a在振动的“平衡位置”mgFTma则振动系统4mgqEFTE带正电摆球在水平向右的电场中做小幅振动在振动的“平衡位置”则振动系统5φmgFTmaa则如图所示，摆线长为l的单摆悬于架上，架固定于小车．使小车沿倾角为的斜面以加速度a做匀加速运动，求此时单摆振动的周期．专题12-例5某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上．电梯向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同．试问电梯服务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？向上加速的电梯中，摆的等效而加速下降电梯中，摆的等效规律因加速，上升过程钟面时间t比客观时间t0长，下降过程钟面时间t比客观时间t0少，每上下一次，钟面读数与客观时间相差说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少，以此钟指示时间为据此人工作了．返回t0正误不准钟当其钟面读数时间为t时，客观时间为t0．t＞t0，钟走快；t＜t0，钟走慢．摆式钟的特点　1.振动次数相同，则钟面读数变化相同　　　　　　　2.标准钟钟面读数与客观时间一致不准钟钟面读数与客观时间不一致　　　　　　　3.T大钟慢，T小钟快设标准钟摆的周期为T0，不准钟摆的周期为T．如图，当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t时标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的：根据特点1，有　．不准钟是在客观时间t0(t0≠t)内走成这样的：t0返回llmg振动系统6如图，小铁球用长度为l的细线AC、BC悬挂，两线与A、B连线的夹角均为α，AC恰好水平．球由于受到扰动，垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求小球振动的周期．ACB如图所示，光滑的细杆组成夹角为α的人字架．一根长度为l的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球C，架竖直放置，试求重球在人字架平面内做小振动的周期．专题12-例6BACOαTβααβT振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的,若证得振动中线拉力之合力始终通过O点,即可与单摆等效!OABDC专题12-例7l1CABabl2mgOx由几何关系得C到AB的距离等效摆长为秋千周期为如图所示，秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳固定点B高b，秋千两根支架相距为a，两根绳子长度分别是l1和l2，并且．试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期．（人的大小与上述长度相比可忽略不计）一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙上A点，杆可以向各个方向转动，如图所示．一根长度为l的不可伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置．使重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期 T．ABlllmg如图是一种记录地震的仪器——倾斜摆的示意图.摆球m固定在边长为l、质量可忽略的等边三角形框架ABC上，可绕AB杆摆动，AB杆和竖直墙夹角为α.求摆球做微小摆动的周期.ABCαmllmg返回专题12-例8未放凹形滑块的单摆，是以圆频率设带凹形滑块的异形摆圆频率为,有则谐振,满足比较两式得如图，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为l．m与M、M与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振动周期T．专题12-例9未加另一质量重物的单摆设带另一质量的复摆圆频率为,有则谐振,满足比较两式得一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小振幅的自由振动．如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之几？续解时,有最小值故查阅Mmv0在天花板下用两根长度同为l的轻绳吊一质量为M的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图．开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度v0，试求振动周期．llMmv0摆长为l、振幅为lθ的理想单摆满足对振动实体机械能守恒，有比较两式得则数学摆是由长度为l的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所组成．现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示．试求这种摆小振动的周期，摩擦不计．摆长为l、振幅为lθ的理想单摆满足此题中复摆振动实体机械能守恒，有比较两式得则ll/2如图所示，质量为M、长为L的均匀细刚杆一端悬挂，可在竖直平面内绕悬点O无摩擦地摆动．质量为m=M/3的小虫相对杆以速度v缓慢地沿杆向下爬行．开始时，杆静止并与竖直线成一个小角度θ0，小虫位于杆上端悬点处．释放杆，杆开始摆动，小虫开始爬行，试求⑴小虫沿杆爬行l距离时，杆振动的圆频率；⑵小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的，求杆的摆动幅度θt．确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图续解⑴当小虫爬到距悬点l处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为对A=Lθ的理想单摆满足比较两式得⑵小虫在悬点时小虫在杆最下端时则查阅OO摆长为l、振幅为lφ的理想单摆满足此题中复摆振动实体机械能守恒，有其中角速度为ω、半径为r圆板的动能为比较两式得则如图所示，一质量为m、半径为r的圆板用三根长均为l的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若圆板绕其过中心O的铅直轴做微小转动，试求其周期．如图所示，细轴环用铰链固定于A点，开始这样放置轴环，使它的质心位于A点正上方，此后轴环自由下落，经时间τ＝0.5s，轴环的质心处于最低位置．有一摆是小重球B固定在轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位置并自由落下．试问此摆经过多少时间t返回到下面的平衡位置．比较两者的角速度关系：对轴环：对重球：则故转过半周所需时间如图所示，半径为R的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不计．在环上与两小重物等距处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）．两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表征．试求该摆的振动周期T及其随变化的图线．αθ系统从平衡位置偏离最大幅度为角θ：取小重物其摆长为：l振幅为：摆长为l、振幅为A的理想单摆满足续解此题中复摆振动实体机械能守恒，有θ则查阅如图所示，质量为M的小平板固定在劲度系数为k的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为m的小球沿入射角θ方向以速度v0射向小平板，并发生完全弹性碰撞．忽略一切摩擦，求碰撞后小平板的振动方程．专题12-例10振动标准方程：对本题振动实体：Mkv0vθmOxkvVθv0θ速度关系如示:由图示关系:由弹性碰撞能量关系:续解由振动中能量关系:查阅专题12-例11车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程,其中平衡位置时的压缩量为:初相位时的速度为:振幅由振动能量关系求得:弹簧最大压缩量为:振动时间借助参考圆:OxyMx0A缓冲时间为:如图所示，小车质量M＝4kg，由静止开始沿倾角的斜面自h=5m高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又冲上斜面．若缓冲器弹簧的劲度系数k=100N/m．求缓冲器弹簧的最大压缩量及小车被缓冲的时间．h如图所示，在盛密度为的液体的大容器中放入一只底面积为S的小圆柱形容器，在这个容器的底部又插入一根细导流管．两只容器壁均静止不动，在小的容器中注入密度为（ρ2＞ρ1）的染了颜色的液体，使其高度至H，以使与外面容器的液面相平．然后打开细管上端，可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重复地进行着．如果假设液体不会混合且表面张力不计，试求第一次从小容器里流出的重液的质量Δm1是多少？在以后每次循环中，流进小容器的轻液的质量Δmn和从小容器里流出的重液的质量Δmk各是多少？解答H设小容器底部开口与细管相接部截面积为s，从此处流过的小液片恰受力平衡时，重液液面下降x0，若称此为平衡面，则有x0xH在此前（后）液面高（低）于平衡面x时，对应地正流经细管上口的小液片所受合力为即:小液片以谐振形式从开口流出，当重液面下降2x0时，重液片向下速度减为零，此后将换成轻液片上升．故第1次从小容器中流出的重液质量为读题续解此后将换成轻液片上升,静止于重液上层，当细管口轻液片受力平衡时，小容器内下部是高(H-2x0)的重液，上部轻液高度设为H即:轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升2x0时，轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降．故第2次流入小容器的轻液质量为x每次循环中进出小容器的重液与轻液质量相同,直至小容器中重液全部替换成轻液!查阅如图所示，平台A的质量为m，由劲度系数为k的轻弹簧来支持．弹簧上端与A相连，下端与地面相连，物块B的质量也是m，自由地放在平台中心，现用竖直向下的力F=mg把弹簧压下（仍在弹性限度内），并在系统静止时撤去外力，求此后A、B的运动情况及两者各自到达的最大高度．AkOyBA、B处于平衡位置时弹簧压缩系统振幅为圆频率为续解A、B一起振动的运动方程A、B一起振动至弹簧自然伸长时速度为Oyxx0AA、B在此位置分离，B竖直上抛到达最大高度B返回分离位置处历时续解查阅AkA、B分离后A谐振！圆频率为振幅由Oyxx0/2A′初相位A振动的运动方程O′A继续上升可达最大高度为A返回分离位置处历时一周期查阅续解由于A、B分离后经相同时间回到分离处，故对碰而交换速度，再经A、B同速相遇一起向下做参数为A、ω及初相为的谐振，至向上过初始位置vyt0查阅续解整个过程中B到达的最高点距释放点整个过程中A到达的最高点距释放点两系统以2v速度接近，经时间发生完全弹性碰撞相碰撞的两物体交换速度!mmmmvvvv碰撞后瞬时系统情况如图:两系统各做简谐振动,经半周期发生第二次碰撞:mmmmvvvv相碰撞的两物体再次交换速度!mmmmvvvv两系统以2v速度分离经又相距L符合题意的总时间为如图所示，两个系统，每个都是由两个质量均为m的相同物体组成，两物体间用劲度系数为k的弹簧相连．两系统以大小相同的恒定速度v相向运动．某时刻，将相碰的两物体间距离L．问经过多少时间后，这两物体间的距离又等于L？设碰撞是完全弹性的．成因摩擦阻力形成波振动能转变为热及向四周辐射!阻尼因数阻力系数阻尼振动周期阻尼振动振幅阻尼振动图象vt0如图所示实验装置可以测定液体的粘滞系数：在弹簧上悬挂一薄板A，测定它在空气中的周期T0，然后把薄板放在欲测粘滞系数的液体中，令其振动，测定周期T．已知薄板质量为m,表面积为S，液体的粘滞阻力，v为运动速度．确定液体的粘滞系数．专题12-例12如图所示，在弹簧上悬挂重6kg的物体．当无阻力时，物体振动周期T=0.4πs，而在阻力与速度成正比时，其周期为T1=0.5πs，试求当振动速度为1cm/s时所受的阻力大小．