矩阵相似的性质1矩阵的相似1.1定义 1.2性质 1.3定理（证明）1.4相似矩阵与若尔当标准形2相似的条件3相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1】）矩阵的相似及其应用1.1 矩阵的相似定义1.1：设为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于记作1.2 相似的性质（1）反身性：；这是因为.（2）对称性：如果，那么；如果,那么有，使，令，就有，所以。（3）传递性：如果，，那么。已知有使，。令，就有，因此，。1.3相似矩阵的性质若，，则：（1）；引理：是一...
1矩阵的相似1.1定义 1.2性质 1.3定理（证明）1.4相似矩阵与若尔当标准形2相似的条件3相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1】）矩阵的相似及其应用1.1 矩阵的相似定义1.1：设为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于记作1.2 相似的性质（1）反身性：；这是因为.（2）对称性：如果，那么；如果,那么有，使，令，就有，所以。（3）传递性：如果，，那么。已知有使，。令，就有，因此，。1.3相似矩阵的性质若，，则：（1）；引理：是一个矩阵，如果是一个可逆矩阵，是可逆矩阵，那么秩（）=秩（）=秩（）证明：设相似，即存在数域上的可逆矩阵，使得,由引理2可知，秩（）=秩（）=秩（）=秩（）（2）设相似于，是任意多项式，则相似于，即证明：设于是，由于相似于，则相似与，（为任意正整数），即存在可逆矩阵,使得，因此所以相似于。（3）相似矩阵有相同的行列式，即；证明：设相似，即存在数域上的可逆矩阵，使得，两边取行列式得：，从而相似矩阵有相同的行列式。又由性质（2）知，有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，而的迹，的迹，从而，即相似矩阵有相同的迹（4）与有相同的标准形；（5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设相似，由性质2可知，若可逆，即，从而，故可逆；若不可逆，即，从而,故不可逆。（6）若与相似，相似，则相似。证明：与相似，即存在可逆矩阵,使得,相似，即存在可逆矩阵,使得，由于显然是可逆矩阵。由此可见，则相似。定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
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