PAGE1.3 三角函数的诱导公式1一、教学目标1.借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。二、问题导学(自学课本后,请解答下列问题)1.角的对称对于任意角α,α与-α;α与π+α;α与π-α各对角中,两个角的终边有下列的对称关系:相关角终边对称关系-α与α关于对称π-α与α关于对称π+α与α关于对称(即互为反向延长线)2.诱导公式(1)公式一sin(α+k·2π)=,cos(α+k·2π)=,tan(α+k·2π)=,其中k∈Z.(2)公式二sin(π+α)=,cos(π+α)=,tan(π+α)=.(3)公式三sin(-α)=,cos(-α)=,tan(-α)=.(4)公式四sin(π-α)=,cos(π-α)=,tan(π-α)=.即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的三角函数值,前面加上一个把α看成时原函数值的符号,事实上,α可以是任意角.[自我小测]1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.( )(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.( )(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.( )(4)诱导公式二~四两边的函数名称一致.( )(5)诱导公式中的角α只能是锐角.( )2.做一做(1)sin240°的值为( )A.-eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.-eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)(2)已知sin(π+θ)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( )A.sinθ<0,cosθ>0B.sinθ>0,cosθ<0C.sinθ>0,cosθ>0D.sinθ<0,cosθ<0(3)计算:taneq\f(7π,4)=________.三、合作探究1如何将大于360°的角转化为锐角?2三角函数式化简遵循什么原则?题型一给角求值问题例1 求下列各三角函数值.(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(16,3)π));(2)cos(-945°).【跟踪训练1】 求下列各式的值:(1)sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°;(2)sineq\f(8,3)πcoseq\f(31,6)π+taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(23,4)π)).题型二给值求值问题例2 (1)已知cos(π+α)=-eq\f(1,2),求sin(2π-α)的值;(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)-α))=eq\f(\r(3),3),求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)+α))-sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,6)))的值.【跟踪训练2】 (1)已知sin(π-α)=-eq\f(1,3),且α为第四象限角,求cos(π+α)、tan(-α)的值.题型三三角函数式的化简例3 化简下列各式:(1)eq\f(tan2π-αsin-2π-αcos6π-α,cosα-πsin5π-α);(2)eq\f(\r(1+2sin290°cos430°),sin250°+cos790°);(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(2π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(4π,3)))(k∈Z).【跟踪训练3】 化简下列各式:(1)eq\f(cosπ+α·sin2π+α,sin-α-π·cos-π-α);(2)eq\f(cos190°·sin-210°,cos-350°·tan-585°).四、当堂检测1.下列各式不正确的是( )A.sin(α+180°)=-sinαB.cos(-α+β)=-cos(α-β)C.sin(-α-360°)=-sinαD.cos(-α-β)=cos(α+β)2.化简sin(-2)+cos(-2-π)tan(2-4π)所得的结果是( )A.2sin2B.0C.-2sin2D.-13.计算:sin315°-sin(-480°)+cos(-330°)=________.4.tan2020°与tan2020°的大小关系为________.5.已知2sin2α+5cos(-α)=4.求下列各式的值:(1)cos(π+α);(2)tan(π-α).五、我的学习总结①知识与技能方面:②
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