PAGE圆锥曲线中的取值范围问题一、常见基本题型:对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解.(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。例1、已知直线与轴交于点,与椭圆交于相异两点A、B,且,求的取值范围.解:(1)当直线斜率不存在时:(2)当直线斜率存在时:设与椭圆C交点为得(*)∵,∴,∴.消去,得,整理得时,上式不成立;时,,∴,∴或把代入(*)得或∴或综上m的取值范围为或。(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.例2、已知点,,若动点满足.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)设过点的直线交轨迹于,两点,若,求直线的斜率的取值范围.解:(Ⅰ)设动点,则,,.由已知得,化简得,得.所以点的轨迹是椭圆,的方程为.(Ⅱ)由题意知,直线的斜率必存在,不妨设过的直线的方程为,设,两点的坐标分别为,.由消去得.因为在椭圆内,所以.所以因为,所以.解得.(3)利用基本不等式求参数的取值范围例3、已知点为椭圆:上的一动点,点的坐标为,求的取值范围.解:,设Q(x,y),,.∵,即,而,∴-18≤6xy≤18.则的取值范围是[0,36].的取值范围是[-6,6].∴的取值范围是[-12,0].二、针对性练习1.已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.(1)求椭圆的方程.(2)设直线与椭圆相交于不同的两点.当时,求的取值范围.解:(1)依题意可设椭圆方程为,则右焦点由题设,解得,故所求椭圆的方程为(2)设、、,为弦的中点,由得直线与椭圆相交,①,从而,,又则:,即,②把②代入①得,解,由②得,解得.综上求得的取值范围是.2.如图所示,已知圆为圆上一动点,点在上,点在上,且满足的轨迹为曲线.(I)求曲线的方程;(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线于不同的两点(点在点之间),且满足,求的取值范围.解:(Ⅰ)∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|又∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线E的方程为(Ⅱ)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为得设,又当直线GH斜率不存在,方程为3.已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为、,一个顶点为.(1)求椭圆的
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方程;(2)对于轴上的点,椭圆上存在点,使得,求的取值范围.解:(1)由题意可得,,,∴.∴所求的椭圆的标准方程为:.(2)设,则.①且,,由可得,即∴.②由①、②消去整理得.∵∴.∵,∴.∴的取值范围为.4.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当<时,求实数取值范围.解:(Ⅰ)由题意知,所以.即.又因为,所以,.故椭圆的方程为.(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在.设:,,,,由得.,.,.∵,∴,,.∵点在椭圆上,∴,∴.∵<,∴,∴∴,∴,∴.∴,∵,∴,∴或,∴实数取值范围为.