新高考高考数学一轮复习巩固练习10.2第88练《二项式定理》（解析版）

第88练　二项式定理考点一　求二项展开式中的特定项1．(x＋2y)6的展开式中的第3项为(　　)A．60x4y2B．－60x4y2C．15x4y2D．－15x4y2答案　A解析　T2＋1＝Ceq\o\al(2,6)x4(2y)2＝60x4y2.2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式中的常数项是(　　)A．－120B．－60C．60D．120答案　C解析　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(eq\r(x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)·(－2)k·，取k＝2得到常数项为Ceq\o\al(2,6)·(－2)2＝60.考点二　求二项展开式中特定项的系数3．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)A．56B．84C．112D．168答案　D解析　根据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))8和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋y))4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为Ceq\o\al(2,8)·Ceq\o\al(2,4)＝168.4．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数等于(　　)A．280B．300C．210D．120答案　D解析　在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数为Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,9)＝…＝Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝120.5．(多选)在(2x－1)8的展开式中，下列说法正确的有(　　)A．展开式中所有项的系数和为28B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C．展开式中二项式系数的最大项为第五项D．展开式中含x3项的系数为－448答案　BCD解析　对于(2x－1)8的展开式，令x＝1，可得展开式中所有项的系数和为1，故A不正确；展开式中奇数项的二项式系数和为eq\f(2n,2)＝eq\f(28,2)＝128，故B正确；易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；由通项公式可得展开式中含x3的项为Ceq\o\al(5,8)(2x)3(－1)5＝－448x3，故D正确．考点三　二项展开式中的最值问题6．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\r(x)))n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于(　　)A．160B．－160C．60D．－60答案　C解析　二项式系数对称，所以，若只有第四项的二项式系数最大，则n＝6，通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))6－k·(－eq\r(x))k＝(－1)k26－kCeq\o\al(k,6)＝(－1)k26－kCeq\o\al(k,6)，由eq\f(3,2)k－6＝0，得k＝4，所以常数项为(－1)4×22×Ceq\o\al(4,6)＝60.7．在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))11的展开式中，系数最大的项为(　　)A．第五项B．第六项C．第七项D．第六项或第七项答案　C解析　依题意可知Tk＋1＝Ceq\o\al(k,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))kx22－3k,0≤k≤11，k∈N，二项式系数最大的是Ceq\o\al(5,11)与Ceq\o\al(6,11)，所以系数最大的是T7＝Ceq\o\al(6,11)，即第七项．考点四　二项式定理的应用8．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)A．29B．29－1C．39D．39－1答案　D解析　令x＝0，得a0＝1，令x＝2得(1＋2)·(1－4)8＝a0＋a1·2＋…＋a9·29，所以a1·2＋…＋a9·29＝39－1.9．233除以9的余数是(　　)A．1B．2C．4D．8答案　D解析　233＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(23))11＝811＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－1))11＝Ceq\o\al(0,11)911×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))0＋Ceq\o\al(1,11)910×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))1＋…＋Ceq\o\al(10,11)91×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))10＋Ceq\o\al(11,11)90×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))11，分析易得，其展开式中Ceq\o\al(0,11)911×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))0，Ceq\o\al(1,11)910×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))1，…，Ceq\o\al(10,11)91×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))10都可以被9整除，而最后一项为Ceq\o\al(11,11)90×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))11＝－1，则233除以9的余数是8.10．用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为(　　)A．99000B．99002C．99004D．99005答案　C解析　9.985＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－0.02))5＝105－Ceq\o\al(1,5)×104×0.02＋Ceq\o\al(2,5)×103×0.022－Ceq\o\al(3,5)×102×0.023＋Ceq\o\al(4,5)×101×0.024－0.025≈105－Ceq\o\al(1,5)×104×0.02＋Ceq\o\al(2,5)×103×0.022＝100000－1000＋4＝99004.11．(多选)(2022·南京模拟)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　)A．a0的值为2B．a5的值为16C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5D．a1＋a3＋a5的值为120答案　ABC解析　∵(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，令等式中的x＝0，可得a0＝2，故A正确；a5的值，即展开式中x5的系数，为2×(－2)5Ceq\o\al(5,5)＋(－2)4Ceq\o\al(4,5)＝16，即a5＝16，故B正确；在所给的等式中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3，①又a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5，故C正确；在所给的等式中，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243，②由①②得，a1＋a3＋a5＝－123，故D错误．12．(多选)(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是(　　)A．a＝3B．展开式中常数项为3C．展开式中x4的系数为30D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64答案　ABD解析　设(a－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝64(a－1)，①令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0，②由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)，所以2×64＝64(a－1)，解得a＝3，故A正确；故二项式为(3－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝0，可得a0＝3，即展开式中常数项为3，故B正确；由①＋②得，2(a0＋a2＋a4＋a6)＝64×2，所以a0＋a2＋a4＋a6＝64，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，故D正确；由(3－x)(1＋x)6＝3(1＋x)6－x(1＋x)6，得其展开式中x4的系数为3×Ceq\o\al(4,6)－1×Ceq\o\al(3,6)＝25，故C错误．13．已知m>0，且152020＋m恰能被14整除，则m的取值可以是(　　)A．2B．1C．7D．13答案　D解析　152020＝(1＋14)2020＝Ceq\o\al(0,2020)＋Ceq\o\al(1,2020)×14＋Ceq\o\al(2,2020)×142＋…＋Ceq\o\al(2020,2020)×142020.上式从第二项起，每一项都可以被14整除，故上式除以14的余数为Ceq\o\al(0,2020)＝1.故选项中，当m＝13时，152020＋m恰能被14整除．14．若(2x＋3y)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4的展开式中x2的系数为(　　)A．－304B．304C．－208D．208答案　A解析　由题意可知n＝8，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4＋x2＋\f(1,x2)))4，其展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)(－4)4－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))k，k＝0,1,2,3,4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))k的展开式的通项为Ceq\o\al(m,k)(x2)k－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))m＝Ceq\o\al(m,k)x2k－4m，m＝0,1，…，k，令2k－4m＝2，得k＝2m＋1，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,k＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,k＝3，))所以x2的系数为Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(0,1)×(－4)3＋Ceq\o\al(3,4)×Ceq\o\al(1,3)×(－4)1＝－304.