PAGE不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、不等式的基本性质1.比较实数大小的充要条件对于任意两个实数a,b有且只有下列三种情况之一成立：a>ba-b>0;a
bbb,b>caba+cb,c>0ac>bc.a>b,c<0acb>0an>bn(n∈N,n≥2).（6）开方：a>b>0>(n∈N,n≥2).（7）a>b,c>da+c>b+d.（8）a>b>0,c>d>0ac>bd.误区警示不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.从应用的角度看，单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础，当然也用于证明不等式.在这些性质中，乘（除）法性质的应用最容易出错，所以在利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不等式性质成立的条件.二、基本不等式1.定理1：设a,b∈R，则a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.2.定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a=b时等号成立.3.定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a=b=c时等号成立.4.一般结论：如果a1，a2，…，an为n个正数，则，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.学法一得（1）在利用定理2、定理3这两个平均值不等式求最大（小）值问题时，必须满足三条：一正、二定、三相等.也就是，第一，均为正数；第二，求积的最大值时，应看和是否为定值，求和的最小值时，应看积是否为定值；第三，等号成立时条件是否具备.应用一般结论求最值也要注意上述条件.（2）为了达到使用基本不等式求最值的目的，常常需要对代数式进行通分、分解变形、构造和为定值或积为定值的模型.联想发散如果在某些特定条件下，一个不等式转化为等式，那么我们称这个不等式是“精确”的.这一类不等式在现代数学中非常重要，它们为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础.典题·热题知识点一：不等式的基本性质例1对于实数a,b,c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b,，则a>0,b<0.其中真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5思路分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，要注意条件与结论之间的联系.①c为正、负或是零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac2>bc2知c≠0,又c2>0,∴a>b是真命题.③a2>ab,ab>b2，∴该命题为真命题.④a>b>0-a<-bc-aa,∴c-a>0,∴0b>0，∴.故该命题为真命题.⑤由已知条件知a>ba-b>0,->0>0,∵a-b>0,∴b-a<0,∴ab<0,又a>b,∴a>0,b<0，故该命题为真命题.综上可知，命题②③④⑤都是真命题.答案：C误区警示通过本题的
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，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.另外，若要判断命题为真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若判断命题为假命题只需举一反例.知识点二：用基本不等式证明条件不等式例2已知a>0,b>0,a+b=1,求证：(a+)(b+)≥.思路分析：本题不能由(a+)≥2，(b+)≥2求解.因为此两式当且仅当a=1,b=1时成立，而由a+b=1这显然是不可能的，由要证的结论不易看出解题思路，可先将左边展开，进行“拆”“配”.证明：左=(a+)(b+)=ab+=()2+++2.∵a>0,b>0,∴+≥2,又∵a>0,b>0,a+b=1,∴a+b≥.≤,≥2,-≥,∴(-)≥,∴(-)2≥,∴左≥2+2+=（当且仅当a=b=时取等号）.方法归纳一般的，数学中的定理、
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揭示了若干变量之间的本质联系，但不能定格于特殊形式，因此在解答数学题的过程中，把数值、数式合理地拆成两项或多项，或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学
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达式数学变形过程中常用的方法，这也是一种解题技巧.知识点三：用基本不等式求值域例3求当x>0时，f(x)=的值域.思路分析：此题从形式上看，不能使用基本不等式，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.解：∵x>0，∴f(x)==.∵x+≥2,∴0<≤.∴00的限制，仅有x∈R，那么应如下求解：当x>0时，同上;当x<0时，x+≤-2,∴≤<0,∴-1≤f(x)<0;当x=0时，f(x)=0,∴-1≤f(x)≤1.（2）若本题加上x∈R的条件，且不用基本不等式，则可以用判别式求解.∵y=,∴yx2-2x+y=0.当y=0时，得x=0，当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=4-4y2≥0,∴-1≤y≤1,但当x>0时，如使用判别式法求解，那么就不仅仅是Δ≥0的问题了，而且还应该考虑x>0的限制条件，是比较复杂的.知识点四：用基本不等式解决实际问题例4某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？思路分析：年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费用、保险费、养路费、汽油费以及维修费用的总和，因此，应先计算总费用，列出函数关系，再计算年平均费用.解：设使用x年时平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列.因此，汽车使用x年时总的维修费用为x万元.设汽车的年平均费用为y万元，则有y==3.当且仅当，即x=10时，y取最小值.答：汽车使用10年时平均费用最少.方法归纳在应用平均值不等式解决实际问题时，要注意以下几点：（1）先理解题意，再设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题;（3）在定义域内，求出函数的最值；（4）正确写出答案；（5）在特殊情况下，还要根据条件构造满足不等式所要求的条件的结论.问题·探究误区陷阱探究问题1若二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(-2)的取值范围.错解：因为二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，所以设f(x)=ax2+bx(a≠0).所以f(-1)=a-b,f(1)=a+b.所以由得，4≤(a+b)+(a-b)≤6，即2≤a≤3.由得,1≤(a+b)-(a-b)≤3,即≤b≤.又因为f(-2)=4a-2b，所以4×2-2×≤4a-2b≤4×3-2×，即5≤f(-2)≤11.试通过探究指明错因，并给出正确的结论.探究过程:错的原因在于利用（1）（2）解得≤b≤的过程中，利用了同向不等式相减.考虑条件1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4，得到的是1≤a-b≤2,2≤a+b≤4这两个结论，显然a，b两字母是相互联系的整体并不是独立存在着的，如果确定出各自的取值范围≤a≤3,0≤b≤，那么0≤a-b≤3，≤a+b≤,即0≤f(-1)≤3,≤f(1)≤.这与条件矛盾了！因此上述解题过程是方法错了.探究结论:分析：f(-1)=a-b，f(1)=a+b，由f(-1)、f(1)可求出a=，b=,进而用f(-1)、f(1)表示出f(-2)，从而求出f(-2)的范围，或者运用整体思想，用f(-1)和f(1)去表示f(-2)，再求解.正解一：因为二次函数y=f(x)的图象过原点，所以f(x)=ax2+bx(a≠0)，所以所以因为f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1),1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4,所以3+3×1≤f(-2)≤4+3×2，即6≤f(-2)≤10.正解二：因为二次函数y=f(x)的图象过原点，所以f(x)=ax2+bx(a≠0)，所以f(-2)=4a-2b.又因为1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4,所以设存在实数m，n使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b)，即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b，所以解之得m=1,n=3.所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).又因为3≤a+b≤4，3≤3(a-b)≤6,所以3+3≤4a-2b≤4+6，即6≤f(-2)≤10.方法交流探究问题2设a>b>0,m>0,n>0，试比较,,的大小，你能根据所得结论写出此结论在生活中的模型吗？探究过程:本题实质是利用实数比较大小的依据，通过作差法比较四个分式的大小，进而找出不等式在日常生活的应用，从而体会不等式的应用价值.因为a>b>0，所以0<<1，0<<1，1<,1<.又因为-=<0，所以<.同理可得>.所以<<<.下面试举不等关系<<<在生活中的一模型：学校打算重新铺设由餐厅通往教学楼的路面，建筑施工规定，铺设路面所用的混凝土中水泥含量和石子含量的比值应不小于0.25，而且在一定范围内这个比值越大，路面的质量越高.试问同时增加相等的水泥和石子的含量，路面的质量是提高了，还是降低了？设所用混凝土中水泥含量和石子含量分别为a,b，同时增加的含量为n，根据题意可知a
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