PAGE【题组训练】平面向量基本定理【编者语】平面向量的小题学生屡屡出错，究其根本原因发现主要是平面向量的基本定理，是故根据所练习的习题，精选本题组，旨在加强对基底向量的认识，对平面向量基本定理的认识和向量的几何运算。1、过ABC的重心任意作一直线分别交AB、AC于D、E两点，若，，且xy0，则的值为（）A.4B.3C.2D.1答案：B解析：（用特殊位置法）当直线DE与BC平行时，则相似三角形的性质，得x=y=，这时=3。方法二、设重心为G，，，这样，所以=(x)，=xy。，，所以有=3。变式1：（2020长沙市4月模拟）在△AOB中，M是OB中点，N是AB中点，ON，AM交于点P，若＝m＋n(m，n∈R)，则n－m＝ .【答案】1 【解析】如下图所示，由题意知，点P为△AOB的重心，＝－＝eq\f(2,3)－＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)－＝－eq\f(2,3)＋eq\f(1,3).即得m＝－eq\f(2,3)，n＝eq\f(1,3)，∴n－m＝eq\f(1,3)－(－eq\f(2,3))＝1.本题考查了平面向量表示在三角形中的各个量及平面向量的基本定理，此类问题考生容易出现的错误是将向量的方向写错，从而导致结论出现问题.2、(2020·安徽高考)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是 .【答案】2【解析】建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos120°，sin120°)，即B(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)).设∠AOC＝α，则＝(cosα，sinα).∵＝x＋y＝(x,0)＋(－eq\f(y,2)，eq\f(\r(3),2)y)＝(cosα，sinα).∴∴x＋y＝eq\r(3)sinα＋cosα＝2sin(α＋30°).∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°.∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值.变式1：（2020湖南长郡中学）在单位圆上的两点，满足，点是单位圆上的动点，且,则的取值范围是（）A.B.C.D.答案：B变式2：（2020苏、锡、常、镇四市调研）如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；【答案】【解析】分别沿方向分别建立轴，设正方体棱长为2，设，再由得求导数可得于是当时，取最小值.3、设I为△ABC的内心，当AB＝AC＝5，BC＝6时，eq\o(AI,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，则实数x、y的值分别是__________．答案：eq\f(5,8) eq\f(5,16)解析：如图2，设AI交BC边于D，∵△ABC为等腰三角形，故D为BC中点，BD＝3，在△ABD中，由内角平分线定理可知eq\f(AI,ID)＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(5,3).设eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(5,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,16)eq\o(BC,\s\up6(→))，故x＝eq\f(5,8)，y＝eq\f(5,16).图2变式1：在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则AB:AC=BD:DC，称为三角形的角平分线定理，已知AC=2，BC=3，AB=4．且，利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为（）A．B．C．D．答案：C解析：在△ABC中，I为内心，联结AI并延长交BC于点D．则又BC=3，则BD=2，DC=1．在△ABC中，故选C．变式2：已知为锐角△的外心，，若=+,且，则=【答案】【解析】如图,设=+,则，过作⊥于，则所以，在△中，从而,所以4、如图正六边形中，是（包括边界）的动点设,则范围为【答案】【解析】当在时，,当运动到时，,当运动到时,,当在边界线上运动时，显然，，同理，在其他边界线上运动时也有，是内点时，如图，,此时，显然有综上所述，变式1：(2020广东省广州市花都区)如图，平面内有三个向量其中与的夹角为60°,与、与的夹角都为30°,且∣∣=∣∣=1,∣∣=,若=+,则的值为（）A．4B．C．D．2答案：A变式2：变式1：如图，△中，，=，，ACBDE延长到，使，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是.【答案】
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