三教上人（A+版-ApplicableAchives）PAGEPAGE6三教上人（A+版-ApplicableAchives）章末检测一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若A＋C＝2B，有a＝1，b＝eq\r(3)，则S△ABC等于( )A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)D．2答案 C解析 由A＋C＝2B，解得B＝eq\f(π,3).由余弦定理得(eq\r(3))2＝1＋c2－2ccoseq\f(π,3)，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).2．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，则边长c的取值范围是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)，＋∞))B．(10，＋∞)C．(0,10)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,3)))答案 D解析 ∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(40,3)，∴c＝eq\f(40,3)sinC．∴00)，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2k＋1>2mk,3mk>mk＋1))，∴k>eq\f(1,2).6．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为eq\f(1,3)，则其外接圆的半径为( )A.eq\f(9\r(2),2)B.eq\f(9\r(2),4)C.eq\f(9\r(2),8)D．9eq\r(2)答案 C解析 设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×eq\f(1,3)，∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝eq\f(1,3)，则sinθ＝eq\f(2\r(2),3).∴2R＝eq\f(3,sinθ)＝eq\f(3,\f(2\r(2),3))＝eq\f(9\r(2),4)，R＝eq\f(9\r(2),8).7．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案 B解析 ∵sinA＝sinC且A、C是三角形内角，∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．∴△ABC是等腰三角形．8．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则AC的取值范围是( )A．[－2,2]B．[0,2]C．(0,2]D．(eq\r(2)，eq\r(3))答案 D解析 由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜π－3∠A＜\f(π,2)，,0＜2∠A＜\f(π,2)))⇒eq\f(π,6)＜∠A＜eq\f(π,4)，由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)得AC＝2cosA.∵∠A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，∴AC∈(eq\r(2)，eq\r(3))．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解答案 D解析 A中，因eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(16×sin30°,8)＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，sinC＝eq\f(20sin60°,18)＝eq\f(5\r(3),9)，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(25－4)＝eq\r(21)，即有解；故A、B、C都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )A.eq\r(21)B.eq\r(106)C.eq\r(69)D.eq\r(154)答案 B解析 设BC＝a，则BM＝MC＝eq\f(a,2).在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，即72＝eq\f(1,4)a2＋42－2×eq\f(a,2)×4·cos∠AMB①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋eq\f(1,4)a2＋2×4×eq\f(a,2)·cos∠AMB②①＋②得：72＋62＝42＋42＋eq\f(1,2)a2，∴a＝eq\r(106).二、填空题11．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的大小是________．答案 eq\f(1,3)解析 由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－eq\f(2,3)ab.根据余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－a2－b2＋\f(2,3)ab,2ab)＝eq\f(1,3)，所以cosC＝eq\f(1,3).12．在△ABC中，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.答案 eq\f(2π,3)解析 由已知3sinA＝5sinB，利用正弦定理可得3a＝5b.由3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2).C∈(0，π)，C＝eq\f(2,3)π.13．在△ABC中，已知cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，则c＝________.答案 eq\f(14,5)解析 在△ABC中，∵cosA＝eq\f(3,5)>0，∴sinA＝eq\f(4,5).∵cosB＝eq\f(5,13)>0，∴sinB＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(56,65).由正弦定理知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(3×\f(56,65),\f(12,13))＝eq\f(14,5).14．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案 eq\f(\r(3),6)解析 如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．三、解答题15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝eq\f(3,5).(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．解 (1)∵cosB＝eq\f(3,5)>0，且0
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