北京市朝阳区2020-2020学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）2020．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择
题
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（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为A．B．C．D．无法确定3．设函数的图象为，下面结论中正确的是A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D．函数在区间上是增函数4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A．B．C．D．5．表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在中，，则的最大值是A．B．C．D．7．点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是A．B．3C．D．28.设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（）A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把
答案
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填在答题卡上．9．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．10．双曲线（）的离心率是；渐近线方程是．11．设不等式组表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．13．在锐角的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．已知函数．下列命题：①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象是轴对称图形；③函数在区间上共有7个零点；④函数在区间上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”.203040506080700.010.030.02年龄（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，点是的中点，点在边上移动．（Ⅰ）若为中点，求证：//平面；（Ⅱ）求证：；DPCBFAE（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”．（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和；（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，.18．（本小题满分13分）设函数．（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；（Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的
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方程；（Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数，，，,且．（Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；（Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由．
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