第二章第三节第二章第三节罗田一中王国舟罗田一中王国舟新课标人教A版选修2-2新课标人教A版选修2-2§2.3数学归纳法笑话：财主的儿子学写字情境一：1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述
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可行吗？情境二：华罗庚的“摸球实验”§2.3数学归纳法费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了=4294967297=6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n=5这一结论便不成立．费马猜想情境三：§2.3数学归纳法1.视频：多米诺骨牌游戏2.思考：多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴第一块要倒下;⑵当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;3.思考：你认为条件(2)的作用是什么？条件⑵事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也要倒下.§2.3数学归纳法类比多米诺骨牌游戏,证明等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d.证明：(1)当n＝1时，左边=a1，右边=a1，等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N+)时等式成立,即ak=a1+(k-1)d,那么，ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d,即n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N+都成立．§2.3数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k(k≥n0，且k∈N+)时命题成立；证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）归纳假设归纳证明§2.3数学归纳法例数列{an}中,a1=1,(n∈N*),{an}通项公式是什么？你是怎么得到的？思路一：观察数列{an}特点，变形解出.思路二：先计算a2，a3，a4的值，再猜想通项an的公式,最后用数学归纳法证明结论．§2.3数学归纳法1、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2．2、用数学归纳法证明：2+4+6+…+2n=n2+n+1时，下列推证是否正确，说出理由？证明：假设当n=k(k∈N+)时，等式成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+1成立那么2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=k2+3k+3=(k+1)2+(k+1)+1即当n=k+1时等式成立，根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N+都成立.第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；§2.3数学归纳法3、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.用数学归纳法证明：证明：(1)当n=1时，左边= ，右边=，等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立，即 那么，，即当n=k+1时，等式成立.根据(1)(2)可知，等式对任何n∈N+都成立.第二步的证明必须利用归纳假设，§2.3数学归纳法1、数学归纳法属于完全归纳法，主要用于研究与正整数有关的数学问题；2、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；3、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想．
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