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（3）复习题一、多元函数的极限、连续、微分学1．讨论二元函数在点的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。（注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。）参见P95例4等2．证明:在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。3．证明函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在可微．参见：P117习题74．设，其中为可微函数，求．参见：P123习题15．设可微，在极坐标变换下，求的
表
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达式。参见：P120例26．设函数在点处可微，且，求．7．设，求在点的梯度及沿方向的方向导数．8．利用二元函数的泰勒公式证明:和有,.进一步证明下面的Yong’s不等式:若,则对有.提示:对函数在点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性.最后取即可.9．求函数的极值点和极植.提示:见课件;类似于教材P138例6;利用极植的必要条件和充分条件.10．求二元函数在直线,轴和轴所围成的闭区域上的最大值和最小值.提示:先求在区域内的驻点,再求函数在直线上的最值点,最后比较.11．在平面上求一点,使它到三直线,及的距离平方和最小.提示:见教材P141习题11.二、隐函数定理及应用1．已知：，求和提示：利用隐式方程求导法。
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：，。2．设具有连续偏导数，已知，求。提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案：。3．设函数由方程组所确定，求和。（见教材P158习题6）4．已知：，求和。（见教材P158习题2（3））5．求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线和法平面方程。（见教材P161例2）6.求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程。7．教材P163习题98．求旋转抛物面与平面之间的最短距离。提示：点到平面的距离公式，求在约束条件下的极值。答案：，9．在过点的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。提示：设平面方程，则体积，求的极值可转化为求的极值答案：三、含参量积分、重积分及其应用1．设，求和。答案：，解题过程中要说明依据。2．求，见教材P178例43．计算，是所围闭区域。提示：考虑积分次序。答案：24．计算二次积分提示：画出积分区域，转化为二重积分，交换积分次序。答案：5．计算积分。（交换积分次序）6．，提示：用直线将分成两部分去绝对值。答案：7．教材P236例28．计算，提示：用极坐标，答案：9．计算，其中。（用极坐标计算）10．计算积分，其中是所围成。提示：用直角坐标或柱坐标，先沿着轴方向穿针。11．计算，是与所围闭区域。提示：用直角坐标，先二后一最简单。也可用其它方法，如用柱坐标：12．计算，由，所围提示：积分区域是球形区域的一部分，宜采用球坐标。答案：13．教材P250例5。14．求球体与公共部分的体积。[参见课件]15．教材P253例116．设是由曲线绕轴旋转一周形成的旋转体，质量均匀，求其重心。[参见课件]17．求半径为的均匀半圆薄片对其径的转动惯量。[参见课件]四、曲线积分1．，为在第四象限部分要求按三种方法做：答案：4[方法1]直角坐标系，[方法2]参数方程，[方法3]极坐标，2．，为点到点的直线段提示：写出直线的参数方程，然后代公式计算。答案：3．计算球面上的边界曲线的形心坐标（）。提示：由对称性。答案：4．，是沿和所围封闭曲线正向。提示：画草图如下，（可选作参数）或用Green公式（试一下答案是否一样）答案：5．力场，问质点从原点沿直线移到曲面的第一卦限部分上哪一点做的功最大，并求最大功。提示：设是椭球面上一点，从原点沿直线移到点所作的功为，求得，然后再根据约束条件用Lagrange乘数法求极值答案：6．计算，其中，为椭圆，为的外法线向量[方法1]记，外法线向量为，单位外法线向量（仍记为），，（用方向导数公式）把写成参数方程，直接计算一型曲线积分得答案：[方法2]设，切向量（注意，这里应取为逆时针方向，想一想为什么？）用Green公式(当然也可直接计算这个二型曲线积分)椭圆面积。7．设为球面和平面的交线，从轴正向看去，是沿逆时针方向的。试计算二型曲线积分提示：关键是写出的参数方程。把代入得，把左边二次型化标准形（不唯一）比如，得取，得曲线参数方程为答案：。请你用另一种坐标变换化标准形再做一次。五、曲面积分1．求椭圆柱面位于xoy平面上方及平面下方部分柱面的面积。提示：[法一]计算曲面积分时，先把曲面投影到平面上，投影区域为：，此时曲面方程应为：，再化为上的二重积分计算。[法二]计算曲面积分时，把面积微元用弧微分表达，即，其中曲线为椭圆周。再利用椭圆的参数方程把该曲线积分化为定积分计算。[法三]计算曲面积分时，用曲面的参数方程：面积再由计算得答案：2．求均匀球面（）的重心和对轴的转动惯量答案：重心，，转动惯量：3．求，为的下侧。要求（1）用二型计算（2）化一型计算（3）用Gauss公式计算。答案：04．，是平面在第一卦限部分的上侧。提示：的单位法向量，化一型计算较简单。，，六、Green公式与Gauss公式等1．（1）计算，其中分别是（i）是圆周：，逆时针；（ii）是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii）是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。(2)计算，其中分别是（i），外侧（ii）为不包含原点的光滑闭曲面，外侧（iii）为包含原点的光滑闭曲面，外侧提示：（1）和（2）属同一类型（1）（i）不能直接用Green公式，此时用Green公式（ii）直接用Green公式，（iii）考虑挖去小圆（充分小）取顺时针，圆周记为2．证明Green第一公式（1）其中，封闭曲面取外侧，所围立体为，是的外法线方向；（2）其中，平面封闭曲线取正向，所围的平面区域为，是的外法线方向。提示：（1）和（2）也是同一类型，但（2）要有法线与切线的转化问题，题中有些条件没说（不言自明），只证（2）3．，为的上半圆周提示：添加辅助线，用Green公式。答案：4．计算，其中为以为圆心，为半径的顺时针圆周。提示：分和两种情况，第一种情况可直接用Green公式，而第二种情况可考虑添加辅助线：（足够小）后在复连通域内用Green公式。5．设为曲面取上侧，计算提示：增加辅助面用Gauss公式，答案6．设是曲面，取上侧，计算。提示：可考虑增加辅助面：（足够小）取下侧，具体见课件。7．有密度为1的空间流体，流速，求在单位时间内流过曲面的流量（流向外侧）。提示：用Gauss公式转化为三重积分。答案：8．证明：若为封闭的简单曲面，为的外法线方向，为任一固定方向，则[见P2967，再看P2323]提示：把用内积写出，化为二型，再用Gauss公式（另一个用Green公式）9．证明：其中是包围的曲面，是的外法线方向，[见P2968]要求：分两种情况证明（1）不含原点，（2）含原点不在边界上10．计算，其中为平面被三个坐标面所截三角形的整个边界，从上向下看为逆时针方向。要求：用Stokes公式计算，答案
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