算术平均数与几何平均数(2)一.课
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:算术平均数几何平均数(2)二.教学目标:会运用均值不等式求某些函数的最值,求最大值时注意一正二定三相等.三.教学重、难点:均值不等式的灵活运用.四.教学过程:(一)复习:均值定理.(二)新课讲解:例1.已知都是正数,求证:①如果积是定值,那么当时,和有最小值;②如果和是定值,那么当时,积有最大值.证明:∵,∴,①当(定值)时,∴,∵上式当时取“”,∴当时有;②当(定值)时,∴,∵上式当时取“”∴当时有.说明:①最值的含义(“”取最小值,“”取最大值);②用极值定理求最值的必须具备的三个条件:一“正”、二“定”、三“相等”.例2.(1)求的最值,并求取最值时的的值.解:∵∴于是,当且仅当,即时,等号成立,∴的最小值是,此时.(2)若上题改成,结果将如何?解:∵于是,从而,∴的最大值是,此时.例3.若,则为何值时有最小值,最小值为多少?解:∵,∴,∴,∴=,当且仅当即时.例4.已知,求的最小值.解:由知,,∴,∴,上式中两个“”号中的等号当且仅当都成立,即当时,取得最小值.五.课堂练习:(1)若,求的最值.(2)下列函数中,最小值是的是(),(3)已知,求的最大值,并求相应的值.六.小结:利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”.七.作业:补充:1.已知,求的最大值,并求相应的值.2.已知,求的最小值,并求相应的值.3.已知,求函数的最大值,并求相应的值.4.已知,求的最小值,并求相应的值.5.已知求的最小值,并求相应的值.6.已知,求函数的最小值,并求相应的值.