江苏省无锡市锡山区202X年中考一模数学试卷（含解析）

.PAGE下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2021年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项的序号填写在题答题卡的相应的括号内．1．的绝对值是〔　　〕A．B．C．2D．﹣22．以下运算中，正确的选项是〔　　〕A．a2+a3=a5B．a3•a4=a12C．a6÷a3=a2D．4a﹣a=3a3．以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕A．B．C．D．4．假设x=3是方程x2﹣3mx+6m=0的一个根，那么m的值为〔　　〕A．1B．2C．3D．45．如图是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是〔　　〕A．B．C．D．6．现有A、B两枚均匀的小立方体〔立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6〕．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P〔x，y〕，那么它们各掷一次所确定的点P落在抛物线y=﹣x2+4x上的概率为〔　　〕A．B．C．D．7．以下命题中，假命题是〔　　〕A．经过两点有且只有一条直线B．平行四边形的对角线相等C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形D．圆的切线垂直于经过切点的半径8．以下函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是〔　　〕A．y=﹣x+1B．y=x2﹣1C．D．9．如图正方形ABCD的边长为2，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上的点，且AE=BF=CG=DH，分别将△AEF、△BFG、△CGH、△DHE沿EF、FG、GH、HE翻折，得四边形MNKP，设AE=x，S四边形MNKP=y，那么y关于x的函数图象大致为〔　　〕A．B．C．D．10．直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，假设正方形绕着点O旋转一周，那么点P到点〔0，2〕长度的最小值是〔　　〕A．2﹣2B．3﹣2SHAPE\*MERGEFORMATC．D．1　二、填空题〔本大题共8小题，每题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．〕11．分解因式：x2y﹣2xy+y=　　．12．体育教师对甲、乙两名同学分别进展了8次跳高测试，经计算这两名同学成绩的平均数一样，甲同学的方差是S甲2=6.4，乙同学的方差是S乙2=8.2，那么这两名同学跳高成绩比拟稳定的是　　同学．13．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，假设设平均每月的增长率x，那么根据题意可得方程为　　．14．如图，矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD=5：3，那么k=　　．15．圆锥的底面直径和母线长都是10cm，那么圆锥的侧面积为　　．16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔2，2〕，B〔4，2〕，C〔6，4〕，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，那么线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为　　．17．某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%，假设按标价打七折出售，可获利　　%．18．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为〔，0〕、〔3，0〕、〔0，5〕，点D在第一象限，且∠ADB=60°，那么线段CD的长的最小值为　　．　三、解答题〔本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.〕19．计算：〔1〕〔〕﹣2+﹣20210；〔2〕〔x﹣2〕2﹣〔x+2〕〔x﹣3〕．20．解方程：〔x﹣4〕2=x﹣4；〔2〕解不等式组：．21．在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是〔如图〕：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，那么△ABD就是直角三角形．〔1〕请你说明其中的道理；〔2〕请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°〔不写作法，保存作图痕迹〕．22．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开场实行“塑料购物袋有偿使用 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 〞〔以下简称“限塑令〞〕．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令〞实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一局部：“限塑令〞实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表：处理方式直接丢弃直接做垃圾袋再次购物使用其它选该项的人数占总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答以下问题：〔1〕补全图1，“限塑令〞实施前，如果每天约有2000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？〔2〕补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．23．某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容． 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ：每位考生先在三个笔试题〔题签分别用代码B1、B2、B3表示〕中抽取一个，再在三个上机题〔题签分别用代码J1、J2、J3表示〕中抽取一个进展考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地抽取一个题签．〔1〕用树状图或列表法表示出所有可能的结果；〔2〕求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标〔例如“B1”的下标为“1”〕为一个奇数一个偶数的概率．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．〔1〕求证：AE⊥CD；〔2〕AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．25．要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ．〔1〕求小亮设计方案中甬路的宽度x；〔2〕求小颖设计方案中四块绿地的总面积〔友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值一样〕26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为〔0，8〕，将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D〔﹣4，0〕处．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕点P从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t〔秒〕，线段QR长为d，求d与t的函数关系式〔不要求写出自变量t的取值范围〕；〔3〕在〔2〕的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？假设存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；假设不存在，说明理由．27．如图〔1〕，∠AOB=45°，点P、Q分别是边OA，OB上的两点，且OP=2cm．将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处．〔1〕①当PC∥QB时，OQ=　　；②当PC⊥QB时，求OQ的长．〔2〕当折叠后重叠局部为等腰三角形时，求OQ的长．28．：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣x+3〔a≠0〕交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．〔1〕求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；〔2〕假设点P〔0，t〕是y轴上的一个动点，请进展如下探究：探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．〔参考资料：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕对称轴是直线x=〕　2021年江苏省无锡市锡山区査桥中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项的序号填写在题答题卡的相应的括号内．1．的绝对值是〔　　〕A．B．C．2D．﹣2【考点】绝对值．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣的绝对值是．应选：A．【点评】此题考察了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．　2．以下运算中，正确的选项是〔　　〕A．a2+a3=a5B．a3•a4=a12C．a6÷a3=a2D．4a﹣a=3a【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据同类项的定义及合并同类相法那么；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、应为a3•a4=a3+4=a7，故本选项错误；C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；D、4a﹣a=〔4﹣1〕a=3a，正确．应选D．【点评】此题主要考察了合并同类项及同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算性质和法那么是解题的关键．　3．以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；应选：B．【点评】此题主要考察了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．　4．假设x=3是方程x2﹣3mx+6m=0的一个根，那么m的值为〔　　〕A．1B．2C．3D．4【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【专题】计算题；方程 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 ．【分析】把x=3代入方程，得到关于m的一元一次方程，可以求出m的值．【解答】解：∵x=3是方程的根，∴x=3代入方程有：9﹣9m+6m=0，解得：m=3．应选C．【点评】此题考察的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程就可以求出字母系数m的值．　5．如图是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是〔　　〕A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．【解答】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图一共两列，左边一列两个正方体，右边一列三个正方体，应选A．【点评】此题主要考察了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也表达了对空间想象能力方面的考察．　6．〔课改〕现有A、B两枚均匀的小立方体〔立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6〕．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P〔x，y〕，那么它们各掷一次所确定的点P落在抛物线y=﹣x2+4x上的概率为〔　　〕A．B．C．D．【考点】概率公式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．【解答】解：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=﹣x2+4x上的共有〔1，3〕、〔2，4〕、〔3，3〕3种可能，其概率为．应选B．【点评】此题综合考察函数图象上点的坐标特征与概率确实定．　7．以下命题中，假命题是〔　　〕A．经过两点有且只有一条直线B．平行四边形的对角线相等C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形D．圆的切线垂直于经过切点的半径【考点】命题与定理；直线的性质：两点确定一条直线；平行四边形的性质；等腰梯形的判定；切线的性质．【分析】根据直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质判断各选项即可．【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，故本选项正确；B、平行四边形的对角线不一定相等，故本选项错误；C、两腰相等的梯形叫做等腰梯形，故本选项正确D、圆的切线垂直于经过切点的半径，故本选项正确．应选B．【点评】此题考察了直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质，属于根底题，注意这些知识的熟练掌握．　8．以下函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是〔　　〕A．y=﹣x+1B．y=x2﹣1C．D．【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【分析】一次函数当k大于0时，y值随x值的增大而增大，反比例函数系数k为负时，y值随x值的增大而增大，对于二次函数根据其对称轴判断其在区间上的单调性．【解答】解：A、对于一次函数y=﹣x+1，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；B、对于二次函数y=x2﹣1，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，当x＜0时，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；C、对于反比例函数，k＞0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；D、对于反比例函数，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大，故本选项正确．应选D．【点评】此题主要考察二次函数、一次函数和反比例函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握各个函数在每个象限内的单调性．　9．如图正方形ABCD的边长为2，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上的点，且AE=BF=CG=DH，分别将△AEF、△BFG、△CGH、△DHE沿EF、FG、GH、HE翻折，得四边形MNKP，设AE=x，S四边形MNKP=y，那么y关于x的函数图象大致为〔　　〕A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图形得出y=S正方形ABCD﹣2〔S△AEF+S△BGF+S△CGH+S△DEH〕，根据面积公式求出y关于x的函数式，即可得出选项．【解答】解：∵AE=x，∴y=S正方形ABCD﹣2〔S△AEF+S△BGF+S△CGH+S△DEH〕=2×2﹣2×[++〕+]=4x2﹣8x+4=4〔x﹣1〕2，∵0＜x＜2，∴0＜y＜4，∵是二次函数，开口向上，∴图象是抛物线，即选项A、B、C错误；选项D符合，应选D．【点评】此题考察了二次函数的图象和性质的应用，能求出y关于x的函数关系式是解此题的关键．　10．直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，假设正方形绕着点O旋转一周，那么点P到点〔0，2〕长度的最小值是〔　　〕A．2﹣2B．3﹣2SHAPE\*MERGEFORMATC．D．1【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征；点、线、面、体．【分析】首先证明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN为直径的圆上，所以当圆心G，点P，C〔0，2〕三点共线时，P到C〔0，2〕的最小值．求出此时的PC即可．【解答】解：在△MOC和△NOA中，，∴△MOC≌△NOA，∴∠CMO=∠ANO，∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，∴∠NCP+∠CNP=90°，∴∠MPN=90°∴MP⊥NP，在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，∴P在以MN为直径的圆上，∵M〔﹣4，0〕，N〔0，4〕，∴圆心G为〔﹣2，2〕，半径为2，∵PG﹣GC≤PC，∴当圆心G，点P，C〔0，2〕三点共线时，PC最小，∵GN=GM，CN=CO=2，∴GC=OM=2，这个最小值为GP﹣GC=2﹣2．应选A．【点评】此题考察一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以MN为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型．　二、填空题〔本大题共8小题，每题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．〕11．分解因式：x2y﹣2xy+y=　y〔x﹣1〕2　．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进展二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=〔a﹣b〕2．【解答】解：x2y﹣2xy+y，=y〔x2﹣2x+1〕，=y〔x﹣1〕2．故答案为：y〔x﹣1〕2．【点评】此题考察了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进展二次分解，注意分解要彻底．　12．体育教师对甲、乙两名同学分别进展了8次跳高测试，经计算这两名同学成绩的平均数一样，甲同学的方差是S甲2=6.4，乙同学的方差是S乙2=8.2，那么这两名同学跳高成绩比拟稳定的是　甲　同学．【考点】方差；算术平均数．【分析】根据方差的意义可知，方差越小，成绩越稳定．【解答】解：甲同学的方差小于乙的方差，那么甲的成绩稳定．故填甲．【点评】此题考察了方差的意义，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．　13．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，假设设平均每月的增长率x，那么根据题意可得方程为　160〔1+x〕2=250　．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，每月的平均增加率相等，可以列出相应的方程，此题得以解决．【解答】解：由题意可得，160〔1+x〕2=250，故答案为：160〔1+x〕2=250．【点评】此题考察由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．　14．如图，矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD=5：3，那么k=　12　．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】函数思想．【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值．【解答】解：由题意，设点D的坐标为〔xD，yD〕，那么点B的坐标为〔xD，yD〕，矩形OABC的面积=|xD×yD|=，∵图象在第一象限，∴k=xD•yD=12．故答案为：12．【点评】此题考察了反比例函数与几何图形的结合，综合性较强，同学们应重点掌握．　15．圆锥的底面直径和母线长都是10cm，那么圆锥的侧面积为　50πcm2　．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求出即可．【解答】解：∵底面圆的半径为5cm，那么底面周长=10πcm，∴圆锥的侧面积=×10π×10=50πcm2．故答案为：50πcm2．【点评】此题考察了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解是解题关键．　16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔2，2〕，B〔4，2〕，C〔6，4〕，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，那么线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为　〔2，〕　．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，根据此题是线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标进而得出答案．【解答】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A〔2，2〕，B〔4，2〕，C〔6，4〕，∴AC的中点是〔4，3〕，∵将△ABC缩小为原来的一半，∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为：〔2，〕．故答案为：〔2，〕．【点评】此题主要考察位似变换中对应点的坐标的变化规律，利用图形得出AC的中点坐标是解题关键．　17．某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%，假设按标价打七折出售，可获利　40　%．【考点】一元一次方程的应用．【分析】如果设按标价打七折出售，设可获利x，再设本钱为a元，那么根据标价不变列出方程，解方程即可．【解答】解：设按标价打七折出售，设可获利x，再设本钱为a元，根据题意，得=，解得x=0.4=40%．即按标价打七折出售，可获利40%．故答案为：40．【点评】此题考察了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出适宜的等量关系，列出方程，再求解．　18．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为〔，0〕、〔3，0〕、〔0，5〕，点D在第一象限，且∠ADB=60°，那么线段CD的长的最小值为　2﹣2　．【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；垂径定理；圆周角定理．【分析】作圆，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP﹣DP求解．【解答】解：作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如下图：∵A〔，0〕、B〔3，0〕，∴E〔2，0〕又∠ADB=60°，∴∠APB=120°，∴PE=1，PA=2PE=2，∴P〔2，1〕，∵C〔0，5〕，∴PC==2，又∵PD=PA=2，∴只有点D在线段PC上时，CD最短〔点D在别的位置时构成△CDP〕∴CD最小值为：2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】此题主要考察坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决此题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．　三、解答题〔本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.〕19．计算：〔1〕〔〕﹣2+﹣20210；〔2〕〔x﹣2〕2﹣〔x+2〕〔x﹣3〕．【考点】实数的运算；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】〔1〕此题涉及零指数幂、开方、负整数指数幂．针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．〔2〕首先计算完全平方，再计算多项式乘法，然后去括号合并同类项即可．【解答】解：〔1〕原式=4﹣2﹣1=1；〔2〕解：原式=x2﹣4x+4﹣〔x2﹣x﹣6〕，=x2﹣4x+4﹣x2+x+6，=﹣3x+10．【点评】此题考察实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．　20．〔1〕解方程：〔x﹣4〕2=x﹣4；〔2〕解不等式组：．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元一次不等式组．【分析】〔1〕因式分解法求解可得；〔2〕分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：〔1〕∵〔x﹣4〕2﹣〔x﹣4〕=0，∴〔x﹣4〕〔x﹣5〕=0，那么x﹣4=0或x﹣5=0，解得：x=4或x=5；〔2〕解不等式3〔x+1〕＜5x，得：x＞，解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，∴不等式组的解集为＜x≤4．【点评】此题主要考察解一元二次方程和一元一次不等式的能力，熟练掌握解一元一次不等式的根本步骤和解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择适宜、简便的方法是解题的关键．　21．在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是〔如图〕：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，那么△ABD就是直角三角形．〔1〕请你说明其中的道理；〔2〕请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°〔不写作法，保存作图痕迹〕．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题．【分析】〔1〕由作图可知，△ABC是以点C为圆心，AD为直径的圆内接三角形，故由直径对的圆周角定理是直角知，∠ABC=90°；〔2〕线段EF，分别以点E，F为圆心，以EF的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接EC；再以点C为圆心，以EC长为半径画弧，交EC延长线于点G，连接FG．那么△EFG就是直角三角形，其中∠EGF=30°．【解答】解：〔1〕理由：方法一：连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB，∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，∴2∠ABC+2∠CBD=180°，∴∠ABC+∠CBD=90°．即∠ABD=90°，∴△ABD是直角三角形；方法二：连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，AD=AC+CD∴BC=AD∴△ABD是直角三角形；〔2〕如下图，线段EF，分别以点E，F为圆心，以EF的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接EC；再以点C为圆心，以EC长为半径画弧，交EC延长线于点G，连接FG．那么△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°．【点评】此题考察了直角三角形的作法和含有30度的直角三角形的作法．　22．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开场实行“塑料购物袋有偿使用制度〞〔以下简称“限塑令〞〕．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令〞实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一局部：“限塑令〞实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表：处理方式直接丢弃直接做垃圾袋再次购物使用其它选该项的人数占总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答以下问题：〔1〕补全图1，“限塑令〞实施前，如果每天约有2000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？〔2〕补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．【考点】加权平均数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【专题】阅读型；图表型．【分析】〔1〕根据调查的总人数100人，结合其它局部数据即可计算出5个对应的频数是100﹣90=10；然后首先计算样本平均数，再进一步计算2000人需要的塑料袋；〔2〕根据总百分比是1即可计算收费塑料购物袋占：1﹣75%=25%；结合两个统计图中的数据进展合理分析，提出合理化建议即可．【解答】解：〔1〕补全图1见以下图．因为〔个〕，即这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个．因为2000×3=6000，所以估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋．〔2〕图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%．例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做奉献．【点评】此题是社会上的热门话题与统计相结合的一道考题，考察了学生对图表绘制过程的理解、阅读图表并提取有用信息的技能，借助数据处理结果做合理推测的能力．这是北京市这几年考核统计这局部知识的常见题型．此题主要考察条形统计图、扇形统计图、平均数以及用样本估算总体的数学思想．　23．某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题〔题签分别用代码B1、B2、B3表示〕中抽取一个，再在三个上机题〔题签分别用代码J1、J2、J3表示〕中抽取一个进展考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地抽取一个题签．〔1〕用树状图或列表法表示出所有可能的结果；〔2〕求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标〔例如“B1”的下标为“1”〕为一个奇数一个偶数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】〔1〕首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；〔2〕由〔1〕中的树状图可求得小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标〔例如“B1”的下标为“1”〕为一个奇数一个偶数的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：〔1〕画树状图：那么共有9种等可能的结果；〔2〕∵由树状图或表可知，所有可能的结果共有9种，其中笔试题和上机题的题签代码下标为一奇一偶的有4种，∴题签代码下标为一奇一偶的概率是．【点评】此题考察了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．〔1〕求证：AE⊥CD；〔2〕AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．【考点】切线的性质．【分析】〔1〕欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；〔2〕过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．【解答】〔1〕证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；〔2〕解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【点评】此题考察了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．　25．要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．〔1〕求小亮设计方案中甬路的宽度x；〔2〕求小颖设计方案中四块绿地的总面积〔友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值一样〕【考点】一元二次方程的应用；解直角三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】〔1〕根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；〔2〕求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影局部面积的和即可；【解答】解：〔1〕根据小亮的设计方案列方程得：〔52﹣x〕〔48﹣x〕=2300解得：x=2或x=98〔舍去〕∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m；〔2〕作AI⊥CD，垂足为I，∵AB∥CD，∠1=60°，∴∠ADI=60°，∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形，∴BC=AD由〔1〕得x=2，∴BC=HE=2=AD在Rt△ADI中，AI=2sin60°=∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48﹣52×2﹣48×2+〔〕2=2299平方米．【点评】此题考察了一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考察一元二次方程的应用的主要题型．　26．〔2021•道里区三模〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为〔0，8〕，将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D〔﹣4，0〕处．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕点P从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t〔秒〕，线段QR长为d，求d与t的函数关系式〔不要求写出自变量t的取值范围〕；〔3〕在〔2〕的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？假设存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；假设不存在，说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】〔1〕由C〔0，8〕，D〔﹣4，0〕，可求得OC，OD的长，然后设OB=a，那么BC=8﹣a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：〔8﹣a〕2=a2+42，解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；〔2〕在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR∥AC与折叠的性质，易证得RQ=AR，那么可求得d与t的函数关系式；〔3〕首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求得答案．【解答】解：〔1〕∵C〔0，8〕，D〔﹣4，0〕，∴OC=8，OD=4，设OB=a，那么BC=8﹣a，由折叠的性质可得：BD=BC=8﹣a，在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，那么〔8﹣a〕2=a2+42，解得：a=3，那么OB=3，那么B〔0，3〕，tan∠ODB==，由折叠的性质得：∠ADB=∠ACB，那么tan∠ACB=tan∠ODB=，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，tan∠ACB==，那么OA=6，那么A〔6，0〕，设直线AB的解析式为：y=kx+b，那么，解得：，故直线AB的解析式为：y=﹣x+3；〔2〕在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，那么AB==3，tan∠BAO==，cos∠BAO==，在Rt△PQA中，∠APQ=90°，AP=4t，那么AQ==10t，∵PR∥AC，∴∠APR=∠CAB，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB，∴∠BAO=∠APR，∴PR=AR，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，∴∠PQA=∠QPR，∴RP=RQ，∴RQ=AR，∴QR=AQ=5t，即d=5t；〔3〕过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，∵EF=QR，∴NS=NT，∴四边形NTOS是正方形，那么TQ=TR=QR=t，∴NT=AT=〔AQ﹣TQ〕=〔10t﹣t〕=t，分两种情况，假设点N在第二象限，那么设N〔n，﹣n〕，点N在直线y=﹣x+3上，那么﹣n=﹣n+3，解得：n=﹣6，故N〔﹣6，6〕，NT=6，即t=6，解得：t=；假设点N在第一象限，设N〔N，N〕，可得：n=﹣n+3，解得：n=2，故N〔2，2〕，NT=2，即t=2，解得：t=．故当t=或t=时，QR=EF，N〔﹣6，6〕或〔2，2〕．【点评】此题考察了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．　27．〔2021•滨湖区模拟〕如图〔1〕，∠AOB=45°，点P、Q分别是边OA，OB上的两点，且OP=2cm．将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处．〔1〕①当PC∥QB时，OQ=　2cm　；②当PC⊥QB时，求OQ的长．〔2〕当折叠后重叠局部为等腰三角形时，求OQ的长．【考点】三角形综合题．【分析】〔1〕①由平行线的性质得出∠O=∠CPA，由折叠的性质得出∠C=∠O，OP=CP，证出∠CPA=∠C，得出OP∥QC，证出四边形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=2cm即可；②当PC⊥QB时，分两种情况：设OQ=xcm，证出△OPM是等腰直角三角形，得出OM=OP=，QM=﹣x，证出△CQM是等腰直角三角形，得出QC=QM，得出方程x=〔﹣x〕，解方程即可；〔ii〕同〔i〕得出：OQ=2+2；即可得出结论；〔2〕当折叠后重叠局部为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；点C在∠AOB的内部或一边上时，由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的长；点C在∠AOB的外部时，同理求出OQ的长即可．【解答】解：〔1〕①当PC∥QB时，∠O=∠CPA，由折叠的性质得：∠C=∠O，OP=CP，∴∠CPA=∠C，∴OP∥QC，∴四边形OPCQ是平行四边形，∴四边形OPCQ是菱形，∴OQ=OP=2cm；故答案为：2cm；②当PC⊥QB时，分两种情况：〔i〕如图1所示：设OQ=xcm，∵∠O=45°，∴△OPM是等腰直角三角形，∴OM=OP=，∴QM=﹣x，由折叠的性质得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，∴△CQM是等腰直角三角形，∴QC=QM∴x=〔﹣x〕，解得：x=2﹣2，即OQ=2﹣2；〔ii〕如图2所示：同〔i〕得：OQ=2+2；综上所述：当PC⊥QB时，OQ的长为2﹣2，或2+2．〔2〕当折叠后重叠局部为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；①点C在∠AOB的内部时，四边形OPCQ是菱形，OQ=OP=2cm；②当点C在∠AOB的一边上时，△OPQ是等腰直角三角形，OQ=或2；③当点C在∠AOB的外部时，分两种情况：〔i〕如图3所示：PM=PQ，那么∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，由折叠的性质得：∠OPQ=∠MPQ，设∠OPQ=∠MPQ=x，那么∠PMQ=∠PQM=45°+x，在△OPM中，由三角形内角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，解得：x=30°，∴∠OPQ=30°，作QN⊥OP于N，设ON=a，∵∠O=45°，那么QN=ON=a，OQ=a，PN=QN=a，∵ON+PN=OP，∴a+a=2，解得：a=﹣1，∴OQ=〔﹣1〕=﹣；〔ii〕如图4所示：PQ=MQ，作QN⊥OA于N，同①得：OQ=+；综上所述：当折叠后重叠局部为等腰三角形时，OQ的长为2cm或〔2﹣2，〕cm或〔2+2〕cm或〔﹣〕cm或〔+〕cm．【点评】此题是三角形综合题目，考察了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识；此题综合性强，有一定难度，熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键，注意分类讨论．　28．：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣x+3〔a≠0〕交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．〔1〕求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；〔2〕假设点P〔0，t〕是y轴上的一个动点，请进展如下探究：探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．〔参考资料：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕对称轴是直线x=〕【考点】二次函数综合题；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】〔1〕由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；〔2〕〕①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：〔1〕当∠P1DA=90°时；〔2〕当∠P2AD=90°时；〔3〕当AP3D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=ax2﹣x+3〔a≠0〕的对称轴为直线x=﹣2．∴，∴，∴．∴D〔﹣2，4〕．〔2〕探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∴A〔﹣6，0〕，B〔2，0〕，C〔0，3〕，∴OA=6，OC=3．〔4分〕当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，那么DM=2，OM=4．∵P〔0，t〕，∴OP=t，MP=OM﹣OP=4﹣t．∵S三角形PAD=S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP===12﹣2t∴W=t〔12﹣2t〕=﹣2〔t﹣3〕2+18∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18．探究二：存在．分三种情况：①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，那么OE=2，DE=4，∠DEA=90°，∴AE=OA﹣OE=6﹣2=4=DE．∴∠DAE=∠ADE=45°，，∴∠P1DE=∠P1DA﹣∠ADE=90°﹣45°=45度．∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，∴DM∥OA，∴∠MDE=∠DEA=90°，∴∠MDP1=∠MDE﹣∠P1DE=90°﹣45°=45度．∴P1M=DM=2，．此时，又因为∠AOC=∠P1DA=90°，∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，∴OP1=OM﹣P1M=4﹣2=2，∴P1〔0，2〕．∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，此时P1点的坐标为〔0，2〕②当∠P2AD=90°时，那么∠P2AO=45°，∴，∴．∵，∴．∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．〔结论〔1分〕，过程1分〕③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，那么⊙O1的半径，圆心O1到y轴的距离d=4．∵d＞r，∴⊙O1与y轴相离．不存在点P3，使∠AP3D=90度．∴综上所述，只存在一点P〔0，2〕使Rt△ADP与Rt△AOC相似．【点评】此题综合性较强，考察函数根本性质，三角形相似的性质，辅助线的作法，探究性问题，还运用分类讨论思想，难度大．