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题
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分类解析汇编专题5：函数的图象与性质一、选择题1.（深圳2020年3分）反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是【度002 】A、1B、2C、4D、【答案】B。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【
分析
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】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S=|k|即可求得k的值：∵点M是反比例函数y=图象上一点，∴S△MOP=|k|=1。又∵k＞0，则k=2。故选B。2.（深圳2020年5分）已知一元二次方程2x2－3x－6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1＋x2，0）、B（0，x1x2），则直线l的解析式为【度002 】A、y=2x－3B、y=2x＋3C、y=－2x-3D、y=－2x＋3【答案】A。【考点】一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求一次函数解析式。【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确定直线的解析式：由题意知，x1+x2=，x1•x2=－3，∴A（，0），B（0，－3）。设直线l的解析式为：y=kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k=2，b=－3，∴直线l的解析式为：y=2x－3。故选A。3.（深圳2020年3分）函数y=x2－2x＋3的图象顶点坐标是【度002 】A、（1，-4）B、（－1，2）C、（1，2）D、（0，3）【答案】C。【考点】二次函数的性质。【分析】利用配
方法
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将一般式化为顶点式即可确定顶点的坐标：∵y=x2－2x+3=x2－2x＋1＋2=（x－1）2＋2，∴顶点的坐标是（1，2）。故选C。4.（深圳2020年3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是【度002 】A、2B、4C、5D、6【答案】B。【考点】二次函数综合题，二次函数的对称性，弦径定理，勾股定理。【分析】根据题意，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．知CE＋FD=CD－EF=CD－2EH，分别求出CD，EF即可：由抛物线过点A（2，0）、B（6，0）得：抛物线对称轴为x=4。由抛物线过点C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，得D点坐标为（7，）。如图，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H，则GH=3，EG=2，EH=22－()2=1。∴CE＋FD=CD－EF=CD－2EH=－2=4。故选B。5.（深圳2020年3分）函数y=（k≠0）的图象过点（2，－2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的【度002 】A、第一、三象限B、第三、四象限C、A、第一、二象限D、第二、四象限【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】将（2，－2）代入y=（k≠0）得k=－4，根据反比例函数的性质，函数的图象在平面直角坐标系中的第二、四象限。故选D。6.（深圳2020年3分）函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是【度002 】A B C D【答案】C。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴＜0。∵＜0，∴函数的图象过二、四象限．又∵－＞0，∴函数的图象与y轴相交于正半轴。∴一次函数的图象过一、二、四象限。故选C。7.（深圳2020年3分）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是【度002 】Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】若＞0，反比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限，答案C符合条件；若＜0，反比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过二、三、四象限，答案中没有符合条件的结果。故选C。8.（深圳2020年3分）．如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为【度002 】AOBCA．8B．6C．4D．2【答案】A。【考点】反比例函数系数的几何意义。【分析】双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为||，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2||=2×4=8。故选A。xOyP9.（深圳2020年学业3分）如图，点P（3a，a）是反比例函y＝EQ\F(k,x)（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为【度002 】A．y＝EQ\F(3,x)B．y＝EQ\F(5,x)C．y＝EQ\F(10,x)D．y＝EQ\F(12,x)【答案】D。【考点】反比例函数和圆的中心对称性，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据反比例函数和圆的中心对称性，图中阴影部分的面积实际上是圆的面积。由勾股定理，可得圆的半径为。因此，由图中阴影部分的面积为10π可得，解得a=2（因果点P在第一象限，a＞0，负数舍去）。∴点P（6，2）。代入y＝EQ\F(k,x)，得k=12。则反比例函数的解析式为y＝EQ\F(12,x)。故选D。10.（深圳2020年招生3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可以是【度002 】A.－1B.0C.1D.2【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，得，即。因此的值可以是2。故选D。11.（深圳2020年3分）对抛物线=－2＋2－3而言，下列结论正确的是【度002】A.与轴有两个交点B.开口向上C.与轴交点坐标是(0，3)D.顶点坐标是(1，－2)【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】把=－2＋2－3变形为=－（－1）2－2，根据二次函数的性质，该抛物线，开口向上；顶点坐标是(1，－2)；－2＋2－3=0无实数根，故抛物线与轴无交点；当=0时y=－3，故抛物线与y轴交点坐标是(0，－3)。故选D。二、填空题1.（深圳2020年3分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝▲【答案】4。【考点】反比例函数系数的几何意义。【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=。∵S△OAB==2，且反比例函数在第一象限，＞0，则。2.（深圳2020年3分）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是▲.【答案】。【考点】三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数，锐角三角函数。【分析】过A作AE⊥X轴于E，AC交Y轴于D，AB交X轴于F。∵点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（0,2），∴∠OCB=∠OBC=45º，BC=。又∵△ABC的内心在y轴上，∴∠OBF=∠OBC=45º。∴∠ABC=90º，BF=BC=，CF=4，EF=EA。又∵直线AC的解析式为，∴OD：OC=1：2。∵A点在直线AC上，∴AE：EC=1：2，即AE：（EF+CF）=AE：（AE+4）=1：2。解之，EF=AE=4，∴FA=。∴AB=BF+FA=。∴在Rt△ABC中，tanA=。3．（2020广东深圳3分）二次函数的最小值是▲．【答案】5。【考点】二次函数的性质。【分析】∵，∴当时，函数有最小值5。4．（2020广东深圳3分）如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为▲．【答案】4。【考点】反比例函数综合题【分析】∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），∴Q点的坐标是（3，1），∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。三、解答题ByOAxC1.（深圳2020年10分）已知：如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。（1）求抛物线的解析式。（2）若点P在直线BC上，且S△PAC=S△PAB，求点P的坐标。【答案】解：（1）∵直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，∴令x=0，则y=0，令y=0，则x=3。∴C（0，3）、B（3，0）。把两点坐标代入抛物线y=－x2＋bx＋c得，，解得，。∴抛物线的解析式为：y=－x2＋2x＋3。（2）由－x2＋2x＋3=0可得点A的坐标为（－1，0）。∴S△ABC=。设P点坐标为（x，－x＋3），分三种情况讨论：当点P在BC延长线上，S△PAC=S△PAB－S△ABC=S△PAB，∴S△ABC=S△PAB，即，解得x=－3。此时，点P的坐标为（－3，6）。②当点P在线段BC上，S△PAC=S△ABC－S△PAB=S△PAB，∴S△ABC=S△PAB，即，解得x=1。此时，点P的坐标为（1，2）。③当点P在CB延长线上，S△PAC=S△PAB＋S△ABC=S△PAB，∴S△ABC=－S△PAB，这是不可能的。此时，点P不存在。综上所述，所求点P的坐标为（－3，6）或（1，2）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据直线y=－x＋3可分别令x=0，y=0求出C，B两点的坐标；把B，C两点的坐标分别代入抛物线y=－x2＋bx＋c可求出b，c的值，从而求出函数的解析式．（2）因为P在直线BC上，所以可设P点坐标为（x，－x＋3），再利用三角形的面积公式及△ABC、△PAC、△PAB之间的关系分点P在BC延长线上，当点P在线段BC上，当点P在CB延长线上三种情况求出x的值，从而求出P点坐标。2.（深圳2020年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结BD，求tan∠BDC的值；（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交DC于PxyBCODAEFGG，求sin∠CGF的值。【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得，解得，，∴抛物线的解析式为y=。（2）作弧BC的中点H，连接AH、AB，则由弦径定理和圆周角定理，∠BDC=∠BAH=∠BAC，∴tan∠BDC=tan∠BAH=。（3）由（1）y=得点P的坐标为（5，）。由P、C坐标可求得直线PC的解析式为y=。设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）。∵OM=6，OC=8，∴由勾股定理，得MC=10。又MD=OM＋OD=10，∴MD=MC=10。∴∠MCD=∠MDC。∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°。∴∠MCO=∠BDC=∠PFD。∴∠CGF=∠GDF+∠PFD=∠GDF+∠BDC=∠HDF=45°。∵DA=AH=半径，∴sin∠CGF=sin45°=。【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）yC·EABOx（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。3.（深圳2020年12分）直线y=－x＋m与直线y=x＋2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B。（1）求A、B、C三点的坐标；（3分）（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；（4分）（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离（可用含θ的三角函数式表示）。（5分）【答案】解：（1）直线y=x+2中令x=0，得y=2，∴C点的坐标为（0，2）。把C（0，2）代入直线y=－x＋m，得m=2，∴直线y=－x＋m解析式是y=－x＋2。令y=0，得x=2，则A点的坐标是（2，0），在y=x＋2中令y=0，得x=，则B的坐标是（，0）。（2）根据A、B、C的坐标得到OC=2，OA=2，OB=，根据锐角三角函数定义，得tan∠ABC=,∴∠ABC=30°。又AC=。连接AE，CE，过点E作EF⊥AB于点F，则∠AEC=60°，∴△ACE是等边三角形，边长是。又在Rt△EAF中，AE=，AF=AB=，∴EF=。又OF=OA＋AF=。∴点E的坐标为（，），半径是。（3）分两种情况：（I）当点P在⊙E外时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。∵∠MQN=∠MAN=∠ANC－∠P=∠ABC－∠P=30°－θ，∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，即MN=sin（30°－θ）。（II）当点P在⊙E内时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。∵∠ACB=∠BCO－∠ACO=60°－45°=15°。∴∠MQN=∠MAN=∠APB－∠ANB=∠APB－∠ACB=θ－15°。∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，即MN=sin（θ－15°）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，弦径定理，三角形外角定理。【分析】（1）直线y=x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y=－x＋m的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出。（2）根据三角函数可以求出角的度数。由OC、OA、OB的长度，根据勾股定理、等边三角形的判定和性质、弦径定理可求出点E的坐标和⊙E的半径。（3）分点P在⊙E外和点P在⊙E内两种情况讨论即可。4.（深圳2020年9分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（－1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）（1）（2分）求点A、E的坐标；（2）（2分）若y=过点A、E，求抛物线的解析式。（3）（5分）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物ABCODEyx线上，请充分说明你的判断理由。【答案】解：（1）连结AD，由△ABC是边长为4的等边三角形，得BD=ABcos600=2，AD=Absin600=2，∴OD=1。∴A（1，2）。由OE=，得E（0，）。（2）∵抛物线y=过点A、E，∴，解得。∴抛物线的解析式为y=。（3）作点D关于AC的对称点D'，连结BD'交AC于点P，作D'G⊥x轴于点G。则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值。由轴对称性，得△DFC为直角三角形，在Rt△DFC中，∠DCF=60º，∴DF=DCsin∠DCF=。∴DD'=2。在Rt△DD'G中，∠D'DG=30º，∴D'G=DD'sin∠D'DG=，DG=DD'cos∠D'DG=3。∴OG=4。∴点D'的坐标为（4，）。由B（－1，0），D'（4，）可得直线BD'的解析式为：x+。又直线AC的解析式为：。∴，解得。∴点P的坐标为（，）。此时BD'===2，∴△PBD的最小周长L为2+2。把点P的坐标代入y=成立，∴此时点P在抛物线上。【考点】等边三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，解二元一次方程组。【分析】（1）连结AD，由等边三角形的性质和锐角三角函数可求点A、E的坐标。（2）由点A、E的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，可求抛物线的解析式。（3）根据轴对称的性质，作点D关于AC的对称点D'，连结BD'交AC于点P，点P即为所求。据此求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P在（2）中所求的抛物线上。5.（深圳2020年8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）(4分)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）(4分)若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?【答案】解：(1)设该工艺品每件的进价是元，标价是元。依题意得方程组： ，解得： 。答：该工艺品每件的进价是155元，标价是200元。(2)设每件应降价元出售,每天获得的利润为元，依题意可得与的函数关系式：∴当时,=4900。答：每件应降价10元出售,每天获得的利润最大,最大利润是4900元。【考点】二元一次方程组和二次函数的应用。【分析】(1)方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：①标价－进价=45元；②标价的85%销售该工艺品8件的利润=将标价降低35元销售该工艺品12件的利润；。（2）求出每天获得的利润与每件工艺品降价额的函数关系，应用二次函数最值求解。6.（深圳2020年10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.(1)(3分)求线段OC的长.(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．(3)(4分)在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（１）由与轴交于A、B两点得，，。∵点A在点B的左侧，∴OA＝２，OB＝６。 ∵△OCA∽△OBC，∴OC＝OA·OB＝２×６。∴OC＝２（－２舍去）。∴线段OC的长为２。（２）∵△OCA∽△OBC，∴。设AC＝ｋ，则BC＝ｋ。由AC＋BC＝AB得ｋ＋（ｋ）＝（６－２），解得ｋ＝２（－２舍去）。∴AC＝２，BC＝２＝OC。 过点C作CD⊥AB于点D，∴OD＝OB＝３。∴ＣＤ＝。∴C的坐标为（３，）。 将C点的坐标代入抛物线的解析式得，∴＝－。∴抛物线的函数关系式为：（３）①当P与Ｏ重合时，△BCP为等腰三角形，∴P的坐标为（０，０）。②当PB＝BC时(P在B点的左侧)，△BVP为等腰三角形，∴P的坐标为（６－２，０）。③当P为AB的中点时，PB＝PC，△BCP为等腰三角形，∴P的坐标为（４，０），④当BP＝BC时(P在B点的右侧)，△BCP为等腰三角形，∴P的坐标为（６＋２，０）。综上所述，在轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为：（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定。【分析】(1)由与轴交于A、B两点求出两点的坐标，由△OCA∽△OBC，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出线段OC的长。（2）由△OCA∽△OBC求出点C的坐标，即可用等定系数法求出该抛物线的函数关系式。（3）分P与Ｏ重合、PB＝BC、P为AB的中点、BP＝BC四种情况讨论即可。7.（深圳2020年9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．（1）求∠BEC的度数．（2）求点E的坐标．（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：①；②；③等运算都是分母有理化）【答案】解：(1）∵四边形AOCB是正方形，OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=22.50。∴∠CBE=22.50。∴∠BEC=900－∠CBE=900－22.50=67.50。（2）∵正方形AOCB的边长为，∴OD=OB=。∴点B的坐标为（－1，1），点D的坐标为（，0）。设直线BD的解析式为，则，解得。∴直线BD的解析式为令，，∴点E的坐标为，）。（3）设过B、O、D三点的抛物线的解析式为，∵B（－1，1），O（0，0），D（，0），∴，解得，。∴所求的抛物线的解析式为。【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式化简。【分析】(1）由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，可求得∠BEC的度数。（2）求出点B和D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式，令即可求出点E的坐标。（3）由B、O、D三点的坐标，用待定系数法即可求出过B，O，D三点的抛物线的解析式。8.（深圳2020年8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点．（1）求线段AB的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交轴、轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立．（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，设，，．，试说明：．图1图2图3【答案】解：（1）∵，解得，。∴A（－4，－2），B（6，3）。分别过A、B两点作AE轴，BF轴，垂足分别为E、F。∴AB=OA+OB。（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为，则，∵，∴当时，函数有最大值。∴当扇形的半径取时，扇形的面积最大，最大面积是。（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E，则OA=。∵CD垂直平分AB，点M为垂足，∴OM=AB－OA。∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM，∴△AEO∽△CMO。∴，∴∴CO。同理可得OD。∴，。∴。（4）等式成立。理由如下：∵∠ACB=900，CD⊥AB，∴，。∴。∴。∴。∴。∴。∴。∴。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，勾股定理，扇形的计算，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，代数式的变换。【分析】（1）求出A（－4，－2），B（6，3），由勾股定理即可求出线段AB的长。（2）求出扇形的面积关于半径的函数表达式，由二次函数的最值即可求解。（3）由勾股定理和相似三角形的判定和性质，即可求出OM，OC，OD的长，代入等式验证即可。（4）由三角形面积公式和勾股定理得到代数式，进行代数式的变换即能证明。9.（深圳2020年10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.【答案】解：（1）由B点的坐标为（3，0），OB＝OC，得：OC=3由tan∠ACO＝得：OA=1∴C（0，－3），A（－1，0）。将A、B、C三点的坐标代入，得，解得：。∴这个二次函数的表达式为：。（2）存在。∵，∴D（1，－4）。设直线CD的解析式为，将C、D点的坐标代入，得，解得。∴直线CD的解析式为：。令，得。∴E点的坐标为（－3，0）。∵C（0，－3），∴在中，令，得，。∴F点的坐标为（2，－3）。∴由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF。∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形。∴存在点F，坐标为（2，－3）。（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得（负值舍去）。②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，－r），代入抛物线的表达式，解得（负值舍去）。∴圆的半径为或。（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，－3），直线AG为。设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ。∴。∴当时，△APG的面积最大，此时P点的坐标为，的最大值为。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，圆的切线的性质，解一元二次方程，二次函数最值。【分析】（1）由已知和锐角三角函数定义，求出A、B、C三点的坐标，用待定系数法即可求出二次函数的表达式。（2）过点C作CF⊥轴，求出A、C、E、F的坐标，根据平行四边形的判定即可。（3）根据圆的切线的性质，分直线MN在x轴上方和直线MN在x轴下方两种情况讨论即可。（4）求出的二次函数表达式，应用二次函数最值原理即可求得。10.（深圳2020年9分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；BAOyx（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.【答案】解：（1）过点B作BE⊥轴于点E，由已知可得：OB=OA=2，∠BOE=60°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∠OBE=30°，∴OE=1，EB=。∴点B的坐标是（1，）。（2）设抛物线的解析式为代入点B（1,），得，∴经过A、O、B三点的抛物线的解析式为。CBAOyx（3）如图，抛物线的对称轴是直线=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小。设直线AB为，则。∴直线AB为。DBAOyxP当=－1时，，∴点C的坐标为（－1，）。（4）如图，过P作轴的平行线交AB于D。当=－时，△PAB的面积的最大值为，此时。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，二次函数最值。【分析】（1）由已知得OA=2，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，则OB与轴的正方向夹角为60°，过点B作BE⊥轴于点E，解直角三角形可得OD、BE的长，从而求得B点的坐标。（2）用待定系数法直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式，可求解析式。（3）∵点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标。（4）设P（，）（﹣2＜＜0，＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，的值。11.（深圳2020年学业8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0）（1）求M型服装的进价；（3分）（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．（5分）【答案】解：（1）设进价为x，∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%，∴75×0.8=（1+0.5）x，解得，x=40。答：M型服装的进价为40元。（2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，∴M型服装开展促销活动的实际销价为75·0.8－x=60－x，销售利润为60－x－40=20－x，而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20＋4x，∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润为：W=（20－x）（20＋4x）=-4x2＋60x＋400=。∴当x==7.5（元）时，利润W最大值为625元。【考点】一元一次方程、二次函数的应用。【分析】（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价。（2）促销后，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60－x，利润W=（60－x）（20+4x）。由二次函数最值可解。12.（深圳2020年学业3分）如图，抛物线经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在轴上，其中A（－2，0），B（－1,－3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M为轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）xyCB_D_AO【答案】解：（1）∵点A、B在抛物线上，∴点A、B的坐标满足抛物线方程。∴，解之得：。∴抛物线的解析式为所求。（2）如图，连接BD，交轴于点M，则点M就是所求作的点。设BD的解析式为，则有，。∴BD的解析式为。令则，∴M（0，－2）。(3)如图，连接AM，BC交y轴于点N，∵A（－2，0），D（2，0），M（0，－2），∴OM=OA=OD=2。∴∠AMB=900。∵B（－1,－3），M（0，－2），∴BN=MN=1∴，。设，依题意有：，即：。解之得：，。∴符合条件的P点有三个：。【考点】二次函数综合题，等腰梯形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，直角的判定，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）由点A、B在抛物线上，点A、B的坐标满足抛物线方程的关系，将点A、B的坐标代入抛物线方程即可求出抛物线的解析式。（2）∵点A，D关于对称轴轴对称，连接BD交对称轴轴于M点，由三角形三边关系知M点即为所求，求出直线BD的解析式，即可求得M点的坐标。（3）求出S△ABM，设，即可由已知S△PAD＝4S△ABM列出关于的方程即可求解。13.（深圳2020年招生9分）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.(1)(3分）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？(2)(3分）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z与政府补贴款额之的函数关系式，(3)(3分）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益W的最大值．【答案】解：（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为800×200=160000（元）。（2）依题意（图），设，，则有，，解得，。∴，。（3）∵∴要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为100元？其总收益W的最大值为162000元。【考点】一次、二次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。【分析】（1）由图，直接求出。（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z与政府补贴款额之的函数关系式。（3）求出该商场销售彩电的总收益W的函数关系式，用二次函数最值原理求解。14.（深圳2020年招生10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5,2)，连结BC、AD.(1)(3分）求C点的坐标及抛物线的解析式；(2)(3分）将△BCH绕点B按顺时针旋转900后再沿轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；(3)(4分）设过点E的直线AB交AB边于点P，交CD边于点Q，问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1:3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，又D(5,2〕，∴C(0,2)。∴，解得。∴抛物线的解析式为：。(2)点E落在抛物线上。理由如下：由，得，解得，。∴A（4，0），B(1，0)。∴OA=4，OB=1。由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=900。由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=900。∴点E的坐标为（3，－1）。把代入，得。∴点E在抛物线上。（3）存在点P(a，0)，延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1。S四边形BCGF=5，S四边形ADGF=3，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2。下面分两种情形：①当Sl：S2=1：3时，，此时点E在点F（3，0〕的左侧，则PF=3－a。由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a。∴CQ=3－（9－3a）=3a－6。由S1＝2，得，解得。∴P(，0)。②当Sl：S2=3：1时，，此时点E在点F（3，0〕的右侧，则PF=a－3。由△EPF∽△EQG，得QG=3a－9。∴CQ=3＋（3a－9）=3a－6。由S1＝6，得，解得。∴P(，0)。综上所述：所求点P的坐标为(，0)或(，0)。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转和轴对称性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由矩形的性质和点D的坐标求出点C的坐标，从而由点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，即可求出抛物线的解析式。（2）由旋转和轴对称性质，求出点E的坐标，代入抛物线的解析式验证即可。（3）由似三角形的判定和性质，分S梯形BCQP：S梯形ADQP等于1：3和3：1两种情况讨论即可。15.（深圳2020年9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司
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，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？【答案】解：（1）填写表2如下所示依题意，得：＝800＋700(18－)＋500(17－)＋600(－3)即：＝200＋19300（3≤≤17）（2）∵要使总运费不高于20200元，∴200＋19300<20200解得：∵3≤≤17，∴且设备台数只能取正整数。∴只能取3或4。∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表：（3）由（1）和（2）可知，总运费为：＝200＋19300（＝3或＝4）由一次函数的性质，可知：当＝3时，总运费最小，最小值为：＝200×3＋19300＝19900（元）。答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。【考点】一次函数，一元一次不等式，函数的最小值。【分析】（1）已知条件直接填写表2，再根据等量关系列出函数关系式：总运费=甲地运A馆运费＋乙地运A馆运费＋甲地运B馆运费＋乙地运B馆运费=800＋700(18－)＋500(17－)＋600(3－)考虑到甲地共生产了17台和乙地运B馆3－台，有3≤≤17。（2）根据所列一元一次不等式求解，并结合实际得出的取值进行分析，并根据一次函数的增减性求解。16.（深圳2020年9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：，解得：＝－1∴所求抛物线的解析式为：。（2）如图，在轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于轴对称，在轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI，∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将＝2代入抛物线，得，∴点E坐标为（2，3）。又∵抛物线图像分别与轴、轴交于点A、B、D，∴当＝0时，，∴＝－1或＝3当＝0时，＝－1＋4＝3,∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）又∵抛物线的对称轴为：直线＝1，∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE设过A、E两点的一次函数解析式为：，分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入，得：，解得：。过A、E两点的一次函数解析式为：＝＋1。∴当＝0时，＝1。∴点F坐标为（0，1）。∴DF=2。又∵点F与点I关于轴对称，∴点I坐标为（0，－1）。又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可，由图形的对称性和HF＝HI，GD＝GE可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小。。设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：，解得：过A、E两点的一次函数解析式为：＝2－1∴当＝1时，＝1；当＝0时，＝；∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI=∴四边形DFHG的周长最小为。（3）设点M的坐标为（，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD∴。再由（1）、（2）可知，AM＝1＋，BD＝，AB＝4，∴∵，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使即可。即：∴解得：或（不合题意，舍去）。∴点M的坐标为（，0）。又∵点T在抛物线图像上，∴当＝时，y＝。∴点T的坐标为（，）。【考点】待定系数法求二次函数，抛物线的对称性，一次函数，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）用待定系数法将点B（3，0）代入即可求二次函数表达式。（2）应用抛物线的对称性和两点之间线段最短的性质可求。（3）由题意可知，∠NMD＝∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：。因此由（1）、（2）的结论和△AMN∽△ABD即可求得。17．（2020广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得：a=－1。∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：。∴直线BC的解析式为y=－2x+2．∴点E的坐标为（0，2）。∴。∴AE=CE。（3）相似。理由如下：设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则，解得：。∴直线AD的解析式为y=x+4。联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。∴点F的坐标为（）。则。又∵AB=5，，∴。∴。又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC得出；由题意得∠ABF=∠CBA，即可作出判断。18.（2020广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2020年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据题意得：，解得：8≤x≤10。∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x），即y=2260x+10800。∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。∵现金每购1000元送50元家电消费券一张，∴33400元，可以送33张家电消费券。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。
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