2020届河北省唐山市高三上学期摸底考试数学(理)试题(解析版)

2020届河北省唐山市高三上学期摸底考试数学(理)试题(解析版)2020届河北省唐山市高三上学期摸底考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A.  B.  C.  D.【答案】C【解析】求得集合，，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．已知p，，是关于的方程的一个根，则（）A．  B．  C．2  D．【答案】A【解析】由是关于的方程的一个根，代入方程化简得，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数是关于的方程的一个根，可得，即：，所以{pq=0p2=0​​，解得{p=−2q=2​​，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知，，，则，b，c的大小关系为（）A．  B．  C．  D．【答案】D【解析】根据对数的单调性，分别求得a,b,c的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得，即，，即，，即，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解a,b,c得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．函数的图象大致为（）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；当x>0时，，则＞0，所以函数在上递增，排除A，故选.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点，此点取自区域的概率记为，取自区域的概率记为，则（）A．  B．C．  D．与的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分的面积＝阴影部分的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，阴影部分的面积为2，空白部分的面积为，阴影部分M的面积为：，阴影部分的面积＝阴影部分的面积，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．下图是判断输入的年份是否是闰年的程序框图，若先后输入，，则输出的结果分别是（注：表示除以的余数）（）A．是闰年，是闰年  B．是闰年，是平年C．是平年，是闰年  D．是平年，是平年【答案】C【解析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，输入时，，输出是平年，输入时，输出是润年，故选【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．若，则（）A．  B．  C．  D．【答案】B【解析】由三角函数的诱导公式，求得cos12∘=sin78∘=m，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得cos12∘=sin(90∘−12∘)=sin78∘=m，又由余弦的倍角公式，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知等差数列{an​​}的公差不为零，其前项和为，若，，成等比数列，则（）A．3  B．6  C．  D．【答案】C【解析】由题意，得，利用等差数列的求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，知，，成等比数列，所以，即，整理得，所以，解得，所以＝，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．双曲线的右焦点为，点为的一条渐近线上的点，为坐标原点，若，则的最小值为（）A．41​  B．  C．1  D．2【答案】B【解析】求得双曲线的一条渐近线为，由，得到点的坐标为，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线为，设，因为，可得点的横坐标为，代入渐近线，可得，所以点的坐标为，所以S△OPF​=21​×c×2ac​=4ac2​=4aa21​=，当且仅当时，即a=1时，等号成立，即的最小值为.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．在的展开式中，x3y3的系数是（）A.10  B.  C.10  D.20【答案】B【解析】由二项的展开式的通项为，进而可求得展开式的x3y3的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，所以的展开式中，x3y3的系数为：,故选B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．直线经过椭圆a2x2​b2y2​=1(a>b>0​)的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A.  B.  C.22​−2  D.【答案】A【解析】由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为F(−3​,0)，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为F(−3​,0)，且 ①直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得  ②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．12．设函数，若存在实数使得f(x)<0恒成立，则的取值范围是（）A.  B.  C.(2,∞​)  D.【答案】D【解析】由存在实数使得f(x)<0恒成立，转化为恒成立，得到，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于的不等式，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，要使得存在实数使得f(x)<0恒成立，即恒成立，只需恒成立，即恒成立，即设g(x​)=xlnx​，则g′(x​)=x21−lnx​，当时，g′(x​)>0，函数单调递增，当时，g′(x​)<0，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，即，设，则当时，，函数单调递减，当时，h′(x​)>0，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，即，所以只需，解得，即实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中把存在实数使得f(x)<0恒成立，转化为恒成立，进而得得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题13．若满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧​x−y2≥02x−y1≤0x−2y2≤0​​，则的最大值为______.【答案】【解析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧​x−y2≥02x−y1≤0x−2y2≤0​​所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为直线，当直线过点C时，此时目标函数取得最大值，又由{x−y2=02x−y1=0​​，解得，即，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14．已知是夹角为的两个单位向量，，则_____.【答案】【解析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．已知函数，若在上恰有3个极值点，则的取值范围是______.【答案】【解析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为，再由在上恰有3个极值点，得到，即可求解.【详解】由题意，令，即，解得，所以函数的极值点为，又在上恰有3个极值点，所以这三个极值点只能是在，所以有，解得.所以实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．在三棱锥中，，，，点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为________.【答案】【解析】由，可知PA为三棱锥的外接球的一条直径，过点作平面，可知为外接圆的一条直径，计算出的长度，再利用勾股定理计算出PA的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.【详解】设PA的中点为点，∵∠PBA=∠PCA=90∘，∴OA=OB=OC=OP=21​PA，为三棱锥的外接球的一条直径，过点作平面，垂足为点E，∵BE、、AE⊂平面，∴PE⊥BE，，，∵PB=PC=3​，PE=2​，由勾股定理可得，同理可知，∵∠ABC=60∘，为等边三角形，设的外接圆圆心为点，连接，则OF//PE，且OF=21​PE=22​​，由中位线的性质可知点为的中点，为圆的一条直径，所以，∠ABE=∠ACE=90∘，由圆的内接四边形的性质可知，∠BEC=120∘，∴∠BCE=∠CBE=30∘，由正弦定理可得AE=sin∠BCEBE​=sin30∘1​=2，∴PA=PE2AE2​=6​，因此，球的表面积为π×PA2=6π，故答案为：.【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．的内角所对的边分别为a,b,c，已知的面积为. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：；若求.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）由三角形的面积公式化简得，进而得到，即可作出证明；（2）因为，求得，由（1）得，利用余弦定理求得b2=9，再由面积公式，即可求解.【详解】（1）由三角形的面积公式，可得，即，又因为，所以，又因为，所以，所以.（2）因为，由三角函数的基本关系式，可得，由（1）得，由余弦定理得，解得b2=9，所以.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：通过茎叶图比较两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：所得分数低于60分60分到分不低于分分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级记事件“获得的分流等级高于”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件发生的概率.【答案】（1）详见解析（2）400137​【解析】（1）通过茎叶图可以看出，得分数的平均值高于得分数的平均值，得分数比较集中，得分数比较分散；（2）记表示事件:“选手直接晋级”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，选手所得分数的平均值高于选手所得分数的平均值；选手所得分数比较集中，选手所得分数比较分散.（2）记表示事件:“选手直接晋级”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手淘汰出局则与独立，与独立，与互斥，则，由所给数据得，，，发生的频率分别为.故，，，，所以.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，，点E是的中点.求证：PA//平面BDE；若直线BD与平面所成角为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接AC交BD于，连接OE，利用线面平行的判定定理，即可证得PA//平面；以为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，，分别求得平面和平面的一个法向量n和m，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接AC交BD于，连接OE，由题意可知，PE=EC,AO=OC，∴PA//EO，又PA在平面外，平面，所以PA//平面.以为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，，则A(a,0,0)，B(a,1,0),C(0,1,0)，，DB⇀​=(a,1,0)，，，设平面的法向量nn⇀=(x,y,z)，由{PB⇀​⋅nn⇀=0PC⇀​⋅nn⇀=0​​，得{axy−z=0y−z=0​​，取，又由直线BD与平面所成的角为，得，解得a=1，同理可得平面的法向量，由向量的夹角公式，可得，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.若，求的值；点，若，求直线的方程.【答案】（1）10（2）【解析】（1）联立方程组{y=kx2x2=4y​​，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.由，可得，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得k=−23​，即可求得直线的方程.【详解】（1）由题意，可得，设，联立方程组{y=kx2x2=4y​​，整理得x2−4kx−8=0，则，x1​x2​=−8，又由.（2）由题意，知，，，由，可得又，，则，整理得，解得k=−23​，所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数，，为的导数，且.证明：g(x)在内有唯一零点；.（参考数据：，，，，.）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由题意，得，分别求得在区间(0,2π​​]和(2π​,π​)上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到的最大值为，再由得，得到f(t​)=−tant•sint，利用作差比较，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则所以，当x∈(0,2π​​]时，可得g(x​)>0，即在x∈(0,2π​​]内没有零点，当时，，因为，所以，所以在(2π​,π​)上单调递减，又g(2​)=(2tan2​)cos2>0，且，所以在内有唯一零点.（2）由（1）得，当时，g(x​)>0，所以f′(x​)>0，即单调递增；当时，g(x​)<0，所以，即单调递减，即的最大值为，由得，所以，因此，因为，所以从而，即，所以，故.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在极坐标系中，圆AB//CD,AB=2CD=2BC=2AD=4,∠DAB=600,AE=BE.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线经过点且倾斜角为.求圆的直角坐标方程和直线的参数方程；已知直线与圆交与，，满足为MB的中点，求.【答案】（1）(x−2​)2y2=4，{x=−1tcosαy=−33​tsinα​​，(为参数，).（2）【解析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；将直线的方程代入圆的方程，利用根与系数的关系，求得，，由为MB的中点，得到，求得，即可求得的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆，可得，因为，，所以，即(x−2​)2y2=4，根据直线的参数方程的形式，可得直线:{x=−1tcosαy=−33​tsinα​​，(为参数，).设对应的参数分别为，将直线的方程代入，整理得，所以，，又为MB的中点，所以，因此，，所以，即，因为，所以，从而，即.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23．设函数.画出的图像；若，求mn的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）5【解析】（1）根据绝对值的定义，可得分段函数的解析式，进而作出函数的图象；（2）由不等式，可得，解得n≥2，再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当m≥3，且n≥2时，成立，即可求解mn的最小值.【详解】（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数f(x​)=⎩⎪⎨⎪⎧​−3x,x<−1−x2,−1≤x≤21​3x,x>21​​​，所以的图象如图所示：（2）由，可得，解得n≥2，又因为，所以.(※)若m≥3，(※)式明显成立；若m<3，则当时，(※)式不成立，由图可知，当m≥3，且n≥2时，可得，所以当且仅当m≥3，且n≥2时，成立，因此mn的最小值为5.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.