PAGE高一数学两角和与差的三角函数北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：两角和与差的三角函数①两角和与差的正余弦函数与正切函数；②二倍角公式；③半角公式与万能公式；④和差化积与积化和差公式二、学习目标1、初步理解两角差的余弦公式及其证明过程；2、能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式；进而推导出两角和与差的正弦公式和正切公式，以及倍角公式和半角公式；3、能够运用两角和与差的三角函数公式和倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明；4、能够推导或证明积化和差与和差化积公式；5、通过公式的论证，提高直角坐标系下的推理能力和归纳、猜想能力，进一步认识坐标法在学习三角函数知识中的重要性。三、知识要点1、两角差的余弦公式；2、两角和的余弦公式；3、两角和的正弦公式；4、两角差的正弦公式；5、两角和的正切公式；6、两角差的正切公式；7、二倍角公式8、半角公式：其中，正负号的取舍应由角所在象限确定。9、万能公式：10、和差化积公式：11、积化和差公式：四、考点解析与典型例题考点一三角函数式的化简例1.化简：；。【解】①原式=；②原式==【说明】对于的化简，一般做法是引入辅助角，即，其中辅助角满足：考点二三角函数式的求值例2.已知【解】由题意，【说明】本题是近年重庆高考试题。对此类题型一般不要轻易把角（和与差）利用和差角公式拆开，而往往将其作为整体进行处理。本题由条件可知，，故可将视为已知角，而将问题中的角视为未知角，如能用已知角来表示未知角，则可解。考点三三角恒等式的证明例3.求证：。【证明】法一：左边=；法二：左边=考点四倍角、半角公式的应用例4.已知。【解】法一：原式==；法二：原式==【说明】“1+sinx”、“1－sinx”可利用倍角公式转化为平方式是常见的重要模型；开方后的式子带有绝对值符号的，要根据角的范围进行正负判断。譬如本题从而可知。例5.化简：。【解】因为，由合比定理可知：，故原式=。考点五证明积化和差与和差化积公式例6求证：cosαsinβ＝［sin（α＋β）－sin（α－β）］【证明】因为sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ…………①sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ…………………………②①+②：sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ即：sinαcosβ＝［sin（α＋β）＋sin（α－β）］①－②：sin（α＋β）－sin（α－β）＝2cosαsinβ即：cosαsinβ＝［sin（α＋β）－sin（α－β）］五、数学思想方法本讲主要学习了和角公式、差角公式、二倍角公式、万能公式、半角公式、积化和差与和差化积公式的推导及简单应用。要掌握利用向量法在坐标系中证明差角的余弦公式，进一步体会向量法在解决代数问题中的重要作用以及数形结合思想的重要地位；同时，通过对公式的推导、证明以及简单应用，加强逻辑推理能力训练，提高运算能力这一数学核心能力之一；同时有助于培养严谨、细致的数学思维品质。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1、等于A.B.C.D.2、若，则等于A.－2B.C.D.3、下列各式中，值为的是A.B.C.D.4、函数在区间上的最大值是A.1B.C.D.1+*5、已知，，则的值是A.－1B.C.D.2*6、已知，，则等于A.B.C.D.*7、当时，与：A.总是同号B.总是异号C.当在第一、二象限时同号，在第三、四象限时异号，D.当在第一、四象限时同号，在第二、三象限时异号二、填空题8、若，则＝ 9、已知，且，则的值是三、解答题10、已知sin2=，∈（，）．（1）求cos的值；（2）求满足sin（－x）－sin（+x）+2cos=－的锐角x．11、已知tan2θ＝－2（＜2θ＜，求的值．12、已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，，求cos的值．13、已知（1）求的值；（2）当时，求的值．试题答案一、选择题题号1234567答案DABCBAA5、=tan[（α+β）+（α－β）]，再利用和角的正切公式展开；6、=（cosα+sinα）（cosα－sinα）.由于<0，故cosα<0，sinα>0，从而=（cosα+sinα）（cosα－sinα）>0.将两边同时平方可求得：sin2α=，故求得。7、由万能公式可直接判断。二、填空题8、9、三、解答题10、（1）因为＜＜，所以＜2＜3π.所以cos2=－=－.由cos2=2cos2－1，所以cos=－.（2）因为sin（－x）－sin（+x）+2cos=－，所以2cos（1－sinx）=－.所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.11、
分析
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：已知条件给出倍角，而要求的式子中含半角及和角形式，故应该从已知条件中先求tanθ的值，然后化简式子使之成为单角的形式．解：∵＜2θ＜π∴＜θ＜∵tan2θ＝＝－2．整理得：tan2θ－tanθ－＝0∴tanθ＝或tanθ＝－又∵＜θ＜，tanθ＞0∴tanθ＝∴＝＝＝2－3．12、∵A＋C＝2B，∴B＝60°，A＋C＝120°．令α＝，则A－C＝2α，∴A＝60°＋α，C＝60°－α．∴＋＝＋＝＋＝＝－2．∴cosα＝，（舍去负值，0°
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