PAGE高三数学理反函数、方程根的分布人教版【本讲教育信息】一.教学内容：反函数、方程根的分布二.本周教学重、难点：1.了解反函数的概念及互为反函数图象的关系，会求一些简单的反函数。2.掌握解决有关方程根的分布的基本方法。【典型例题】[例1]记函数的反函数为，则等于（）A.2B.C.3D.解：设，则，即[例2]设的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，，求。解：∵的图象关于点（1，2）对称∴∴∴两边用作用∴[例3]已知是R上的增函数，点A（）、B（1，3）在它的图象上，是它的反函数，求不等式的解集。解：由题意知在R上是增函数，且又由，得，即∴[例4]已知函数，是的反函数，记。（1）求函数的反函数；（2）求的最小值。解：（1）∵又∵∴∴故由，得，解得故（2）当且仅当即时，取得最小值[例5]方程两根在（2，3）内，求的取值范围。解：设∴∴∴[例6]方程的两个根为，且，，求的取值范围。解：∴∴[例7]关于的方程至少有一个负的实根的充要条件是。解：方法一（1）时，成立（2）时，设①2个负根∴∴②1正根1负根∴∴③1负根1零根，不可能∴∴由（1）（2）知：方法二：（1）时，成立（2）时，设①方程有2个正根的条件∴∴②1正根1零根，不可能∴③方程无实根的条件∴∴方程至少有一个负根的充要条件是[例8]若二次函数在内至少存在一点，使，求的取值范围。解：设在内不存在这样的点∴∴∴∴或∴要使在内至少存在一点使，则[例9]已知抛物线上有一点M（）位于轴下方。（1）求证：抛物线与轴必有2个交点，A（）B（）（设）且（2）若M，求整数。证：（1）∵∴∴∴∴∴抛物线与轴必有2个交点又∵∴∴（2）∴或∴或【模拟试题】一.选择题：1.的反函数是（）A.B.C.D.2.设函数的图象关于点（1，）对称，且存在反函数，若，则等于（）A.B.1C.D.23.函数的反函数的解析式为（）A.B.C.D.4.已知函数存在反函数且，则函数的图象必经过点（）A.（2，0）B.（0，2）C.（3，）D.（）5.设函数则的值是（）A.B.C.D.6.设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（）A.B.C.D.7.已知和是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得，，且，则在A上的最大值是（）A.B.C.5D.8.如果函数的反函数是它本身，那么点（）的轨迹是（）A.定点（1，0）B.定点（）C.直线D.直线和定点（1，0）二.解答题：1.已知函数（，且）（1）求函数的反函数；（2）判定的奇偶性；（3）解不等式2.若方程的两根，一个比2大，一个比2小，求的取值范围。3.关于的实系数二次方程的两个实根为，证明：若且，那么。【试题答案】一.1.B解析：，，即（）2.A解析：由题意分析知点（3，0）关于点（1，）的对称点（）也在上，结合反函数的意义分析知，故选A。3.A解析：由∴，即∴∴交换得4.D解析：由题意，则令，则有，故点必在的图象上5.D解析：由题意知时，设，则即解之，得或（舍）6.A解析：方法一：求得由，得∴，解得方法二：∵∴为增函数根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，，即在中，在的条件下求的范围。∴7.C解析：由题设知和在上的同一点处取得最小值，且∵，即从而又∴8.D解析：由互为反函数的图象关于对称，知的图象与重合成垂直故或二.1.解：（1）化简，得，设，则∴∴所求反函数为（2）∵∴是奇函数（3）当时，原不等式∴当时，解得∴综上，当时，所求不等式的解集为（）；当时，所求不等式的解集为（）2.解：∴∴3.证明：，
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