[专升本(国家)考试密押
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解析]专升本高等数学(一)模拟123PAGE1/NUMPAGES1[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟123专升本高等数学(一)模拟123一、选择题在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项．问题:1.______．A.3B.2C.0D.-1答案:C[解析]因此选C．问题:2.______．A.∞B.eC.1D.0答案:C[解析]，因此选C．问题:3.设y=(x-1)5，则y'=______．A．(x-1)6B．C．(x-1)4D．5(x-1)4答案:D[解析]y'=[(x-1)5]'=5(x-1)4·(x-1)'=5(x-1)，因此选D．问题:4.设y=2-ex+3，则dy=______．A.(1+ex+2)dxB.(1-ex+2)dxC.ex+3dxD.-ex+3dx答案:D[解析]y'=(2-ex+3)'=2'-(ex+3)'=-ex+3·(x+3)'=-ex+3，dy=y'dx=-ex+3dx，因此选D．问题:5.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为______．A.2B.-2C.3D.-3答案:C[解析]点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，y'|x=-1=3．由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为3，所以选C．问题:6.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫e-xf(e-x)dx=______．A．F(e-x)+CB．F(ex)+CC．D．-F(e-x)+C答案:D[解析]由于∫f(x)dx=F(x)+C，可得知∫e-xf(e-x)dx=-∫f(e-x)de-x=-F(e-x)+C，因此选D．问题:7.∫x3dx=______．A．B．4x4+CC．D．3x2+C答案:A[解析]由不定积分基本公式可知，可知应选A．问题:8.______．A.4+3ln2B.2+3ln2C.4-3ln2D.2-3ln2答案:D[解析]，因此选D．问题:9.在空间直角坐标系中方程y2=x表示的是______．A.抛物线B.柱面C.椭球面D.平面答案:B[解析]空间中曲线方程应为方程组，故A不正确；三元一次方程表示空间平面，故D不正确；空间中，缺少一维坐标的方程均表示柱面，可知应选B．问题:10.微分方程y"+y'=0的通解为______．A.y=Ce-xB.y=e-x+CC.y=C1e-x+C2D.y=e-x答案:C[解析]y'+y'=0，特征方程为r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1；方程的通解为y=C1e-x+C2，可知选C．二、填空题问题:1.答案:3[解析]问题:2.若f(0)=2，则答案:[解析]而已知f'(0)=2，所以问题:3.曲线的铅直渐近线方程是______．答案:x=2[解析]因为，所以铅直渐近线方程应为x=2．问题:4.设y=e3-x，则dy|x=3=______．答案:dx[解析]y'=(ex-3)'=ex-3·(x-3)'=ex-3，y'|x-3=e3-3=1，dy|x-3=y'|x=3dx=dx．问题:5.设，则f'(x)=______．答案:ex2[解析]两边对x求导，由f'(x)=ex2．问题:6.∫e-3xdx=______．答案:[解析]问题:7.设z=xy，则答案:yxy-1[解析]z=xy，求时，将y认作常量，因此认定z为x的幂函数，问题:8.答案:1[解析]问题:9.级数的和为______．答案:2[解析]是首项为、公比为的几何级数，其和为．问题:10.微分方程的通解为______．答案:y=-e-x+C[解析]方程可化为：dy=e-xdx，这是变量可分离的方程，只需两边积分即可得通解．∫dy=∫e-xdx，y=-e-x+C．三、解答题解答应写出推理、演算步骤．问题:1.答案:解：也可以利用当x→0时，，得问题:2.答案:解：问题:3.设z=z(x，y)由方程z3y-xz-1=0确定，求dz．答案:解：令F(x，y，z)=z3y-xz-1=0，从而所以问题:4.计算二重积分，其中D是x2+y2≤1，x≥0，y≥0所围的平面区域．答案:解：D的图形见下图中阴影部分．在极坐标系下D满足，0≤r≤1，x2+y2=(rcosθ)2+(rsinθ)2=r2，故问题:5.求幂级数的收敛区间(不考虑端点)．答案:解：由2|x2|＜1可解得故所给级数收敛区间为问题:6.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．答案:解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，特征方程及特征根为r2-4r+4=0，r1,2=2，齐次方程的通解为y=(C1+C2)e2x．在自由项f(x)=e-2x中，α=-2不是特征根，所以设y*=Ae-2x，代入原方程，有故原方程通解为问题:7.求曲线y=x2在点(a，a2)，(a＜1)的一条切线，使由该切线与x=0、x=1和y=x2所围图形的面积最小．答案:解：设所求切线的切点为(a，b)，见下图，则b=a2．y'|x=a=2x|x=a=2a，切线方程为y-b=2a(x-a)y=2ax-2a2+b=2ax-a2．设对应图形面积为A，则问题:8.设f(x)是可微函数，满足方程，且f(0)=0，求f(x)．答案:解：对两边求导f'(x)=f(x)+2x，即y'-y=2x．因为故有y=ex(-2xe-x-2e-x+C)=-2x-2+Cex．将f(0)=0代入，有0=-2+C，C=2，故所求为f(x)=2ex-2x-2．
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