2019高考数学热点难点突破技巧第03讲：导数中的二次求导问题【知识要点】1、高中数学课程
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对导数的应用提出了明确的
要求
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，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点.利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、在解决有关导数应用的
试题
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时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题.“再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径.【方法讲评】方法二次求导使用情景对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.解题步骤设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.【例1】（理·2010全国卷Ⅰ第20题）已知函数 .（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：化简得，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有，即当<<时， >0， 在区间上为增函数；当时，；当<时， <0， 在区间上为减函数.所以在时有最大值，即 .又因为 ，所以.也成立.综上， 得证.，则题设等价于.令，则当<<时，>；当时，，是的最大值点Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即.因为 <0，所以此时 .【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂， 思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出 .（2）大家一定要理解二次求导的使用情景，是一次求导得到 之后，解答难度较大甚至解不出来.（3）二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.【例2】设函数（Ⅰ）若在点处的切线为，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若，求证：在时，>．【解析】（Ⅰ）∵∴，∵在点处的切线为，即在点的切线的斜率为，∴，∴，∴切点为，将切点代入切线方程，得，所以，；（Ⅲ）∵，，∴要证：当时，>，即证：，令，则只需证：，由于，（由于不等式是超越不等式,所以此处解不等式 解答不出，所以要构造函数二次求导.）设所以函数在单调递增，又因为所以在内存在唯一的零点，即在内存在唯一的零点，设这个零点为【点评】（1）由于不等式 是超越不等式,所以不等式 解答不出，增是不够的，因为此时，所以，所以的单调性还是不知道，所以无法求.所以必须找到这个零点和零点所在区间，这个零点和零点的区间找到很关键很重要，直接关系到的单调性和.反馈检测1】【2017课标II，理】已知函数 ，且（1）求；（2）证明： 存在唯一的极大值点，且反馈检测2】已知函数R在点处的切线方程为1）求 的值；（2）当 时，恒成立，求实数的取值范围；3）证明：当N，且时，.高考数学热点难点突破技巧第03讲：导数中二次求导问题参考
答案
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反馈检测1答案】（1） ；（2）证明略.反馈检测1详细解析】（1） 的定义域为点1，且当 时，；当时，，当时，.因为，所以是的唯一极大值点.因为是 在（0,1）的最大值点，由，由得得，所以反馈检测2详细解析】（1）解：∵ ，令，则.当时，，函数在上单调递增，故从而，当时，，即函数在上单调递增，故.因此，当时，恒成立，则.∴所求的取值范围是.解法2：由（1）得 .当时，恒成立，即 恒成立.令，则.方程（﹡）的判别式.（ⅰ）当，即时，则时，，得，故函数在上单调递减由于，则当时，，即，与题设矛盾.（ⅱ）当，即时，则时，.，从而.故函数在上单调递减，则，符合题意.由（ⅱ）知，当时，，得故当时，，符合题意.综上所述，的取值范围是.3）证明：由（2）得，当 时，，可化为
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