麦克斯韦速度分布函数的推导麦克斯韦速度分布函数的推导：（由f05060699改正并完成）这里将讨论热平衡下的速度分布函数fM（v）=fM(vx,vy,vz)，即热平衡下速度空间内，在v处单位体积元内的概率。用下标M来表示区分其它速度分布函数。用gM（vx）dvx，gM（vy）dvy，gM（vz）dvz分别表示热平衡下分子代表点的速度分量在vx到vxdvx、vy到vydvy、vz到vzdvz区间内的概率。麦克斯韦假定：在热平衡状态下分子速度任一分量的分布应与其它分量的分布无关，即三个分量的分布是彼此独立的。由独立事件概率公式知，气体分子在速度...
麦克斯韦速度分布函数的推导：（由f05060699改正并完成）这里将讨论热平衡下的速度分布函数fM（v）=fM(vx,vy,vz)，即热平衡下速度空间内，在v处单位体积元内的概率。用下标M来表示区分其它速度分布函数。用gM（vx）dvx，gM（vy）dvy，gM（vz）dvz分别表示热平衡下分子代表点的速度分量在vx到vxdvx、vy到vydvy、vz到vzdvz区间内的概率。麦克斯韦假定：在热平衡状态下分子速度任一分量的分布应与其它分量的分布无关，即三个分量的分布是彼此独立的。由独立事件概率公式知，气体分子在速度空间的代表点处于dvxdvydvz内的概率等于它们速度分量分别处于dvx，dvy，dvz区间内概率的乘积：fM(vx,vy,vz)dvxdvydvz=gM（vx）dvxgM（vy）dvygM（vz）dvz(1)fM(vx,vy,vz)=fM（v）=fM(v2)=fM(vvvzyx222)(2)由（1）（2）有fM(vvvzyx222)=gM（vx）gM（vy）gM（vz）..................(3）取上式的对数，得lnfM(vvvzyx222)=lngM（vx）lngM（vy）lngM（vz）.........(4)就上式对vx，vy，vz求偏导，并注意到v=vvvzyx222，有：)(1vfM.dvvdfM)(.v1=vvgvgviiMiMidd)(.)(1.1(其中i=x,y,z)，三个式子左边相同，又由三个分量的分布彼此独立知右边必为一常数D，即vvgvgviiMiMidd)(.)(1.1=D，分离变量后积分得：lngM（vi）=A-Bvi2，即gM（vi）=cieviB-，ci=eA.由此按(3)式有fM(vx,vy,vz)=CeCevvvvBBzyx2222)(--=，其中C=Ci3(5)下面的任务是求出参量C、B，它们由归一化条件决定.（注：这里我们假定C、B都是常量，其实C是v2的函数也可以满足(3)式或(4)式。以后讨论的量子气体的分布函数正属于这种情况。）因（5）式是各向同性的，可将它代入归一化条件的球坐标表示，即代入⎰⎰∞∞==042)(421,1)(4εππdvvfmdvvfvv，由高斯积分知kTCmdvvCmCdvvCevBevBB⎰⎰∞∞-===025-403223283421421,14)B1()(22επππππ应应由此可得C=)2(23kTmπ，B=kTm2.把它们代回（5）式，我们就得到麦克斯韦速度分布函数的最终表达式：)(vf=fM（v）=)2(23kTmπekTmv22-.由此又可立即写出速度分量的麦克斯韦分布函数，令gM（vx）=)(vfxM，gM（vy）=)(vfyM，gM（vz）=)(vfzM，有：)(vfxM=)2(21kTmπekTmvx22-，)(vfyM=)2(21kTmπekTmvy22-，)(vfzM=)2(21kTmπekTmvz22-.参考资料：赵凯华《热学》
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