二元二次方程组的解法分式方程的解法无理方程的解法教(学)案(2)

个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：谭盛德 授课时间：2013年8月 2 日(星期五) 16:00~18:00 郭海杰年级高一性别男教学课题简单的二元二次方程组的解法教学目标1.会用代入解简单的二元二次方程组2．会用平 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解无理方程3．熟悉分式方程的解法重点难点重点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法难点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________第4次课第四讲简单的二元二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组{2x−y=0(1)x2−y23=0(2)​分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得y=2x，代入方程(2)消去y．解：由(1)得：y=2x (3)将(3)代入(2)得：x2−(2x)23=0，解得：x1​=1或x2​=−1把x=1代入(3)得：y2​=2；把x=−1代入(3)得：y2​=−2．∴原方程组的解是：{x1​=1y1​=2​或{x1​=−1y1​=−2​．说明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的     值；⑤写出答案．(2)消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那         么最好消去系数绝对值较小的，如方程x−2y1=0，可以消去x，变形         得x=2y−1，再代入消元．(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，      不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点        切记．【例2】解方程组{xy=11(1)xy=28(2)​分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x、y看成是方程z2−11z28=0的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程z2−11z28=0的两根，解方程得：z=4或z=7．∴原方程组的解是：{x1​=4y1​=7​或{x1​=7y1​=4​．说明：(1)对于这种对称性的方程组{xy=axy=b​，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x、y的字母，如z．(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解{x=4y=7​，则必有解{x=7y=4​．二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组{x2−y2=5(xy)(1)x2xyy2=43(2)​分析：注意到方程x2−y2=5(xy)，可分解成(xy)(x−y−5)=0，即得xy=0或x−y−5=0，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：x2−y2−5(xy)=0⇒(xy)(x−y)−5(xy)=0⇒(xy)(x−y−5)=0∴xy=0或x−y−5=0∴原方程组可化为两个方程组：{x−y−5=0x2xyy2=43​或{xy=0x2xyy2=43​用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：{x1​=−1y1​=−6​,{x2​=6y2​=1​,{x3​=43​y3​=−43​​,{x4​=−43​y4​=43​​说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】解方程组{x2xy=12(1)xyy2=4(2)​分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1)–(2)×3得：x2xy−3(xyy2)=0即x2−2xy−3y2=0⇒(x−3y)(xy)=0∴x−3y=0或xy=0∴原方程组可化为两个二元一次方程组：{x−3y=0xyy2=4​,{xy=0xyy2=4​．用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：{x1​=3y1​=1​,{x2​=−3y2​=−1​．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例5】解方程组{x2y2=26(1)xy=5(2)​分析：(1)(2)×2得：(xy)2=36(3)，(1)-(2)×2得：(x−y)2=16(4)，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1)(2)×2得：x2y22xy=36⇒(xy)2=36⇒xy=6或xy=−6，    (1)-(2)×2得：x2y2−2xy=16⇒(x−y)2=16⇒x−y=4或x−y=−4．解此四个方程组，得原方程组的解是：{x1​=5y1​=1​,{x2​=1y2​=5​,{x3​=−1y3​=−5​,{x4​=−5y4​=−1​．说明：对称型方程组，如{x2y2=axy=b​、{x2y2=axy=b​都可以通过变形转化为{xy=mxy=n​的形式，通过构造一元二次方程求解．2．可消二次项型的方程组【例6】解方程组{xyx=3(1)3xyy=8(2)​分析：注意到两个方程都有xy项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．解：(1)×3−(2)得：3x−y=1⇒y=3x−1(3)代入(1)得：x(3x−1)x=3⇒3x2=3⇒x1​=1或x2​=−1．分别代入(3)得：y1​=2或y2​=−4．∴原方程组的解是：{x1​=1y1​=2​或{x2​=−1y2​=−4​．说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．练 习A  组1．解下列方程组：(1){xy2=6y=x​            (2){x22y2=8xy=2​  (3){xy=12x23xyy2=5​        (4){x−2y=03x22xy=10​2．解下列方程组：(1){xy=−3xy=2​            (2){xy=1xy=−6​3．解下列方程组：(1){x(2x−3)=0y=x2−1​          (2){(3x4y−3)(3x4y3)=03x2y=5​(3){(x−y2)(xy)=0x2y2=8​      (4){(xy)(xy−1)=0(x−y)(x−y−1)=0​4．解下列方程组：(1){x2y2=3x2−y2=0​            (2){xyx=16xy−x=8​B  组1．解下列方程组：(1){x2y=3x2−2y3x−2=0​        (2){2x−3y=12x2−3xyy2−4x3y−3=0​2．解下列方程组：(1){x−y=3xy=−2​            (2){x2y=42xy=−21​3．解下列方程组：(1){3x2−y2=8x2xyy2=4​          (2){x2y2=42xy=−21​4．解下列方程组：(1){x2y2=5xy=−2​            (2){xy=4x2y2=10​分式方程和无理方程的解法初家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根．一、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程【例1】解方程x21​x2−44x​−x−22​=1．分析：去分母，转化为整式方程．解：原方程可化为：x21​(x2)(x−2)4x​−x−22​=1方程两边各项都乘以x2−4：(x−2)4x−2(x2)=x2−4即3x−6=x2−4，  整理得：x2−3x2=0解得：x=1或x=2．检验：把x=1代入x2−4，不等于0，所以x=1是原方程的解；把x=2代入x2−4，等于0，所以x=2是增根．所以，原方程的解是x=1．说明：(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④解一元二次方程；⑤验根．(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．2．用换元法化分式方程为一元二次方程【例2】解方程(x−1x2​)2−x−13x2​−4=0分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设x−1x2​=y，即得到一个关于y的一元二次方程．最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法解方程x−1x2​=y．解：设x−1x2​=y，则原方程可化为：y2−3y−4=0 解得y=4或y=−1．(1)当y=4时，x−1x2​=4，去分母，得x2=4(x−1)⇒x2−4x4=0⇒x=2；(2)当y=−1时，x−1x2​=−1⇒x2=−x1⇒x2x−1=0⇒x=2−1±5​​．检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，x=2，x=2−1±5​​都是原方程的解．说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值．【例3】解方程x2−18(x22x)​x22x3(x2−1)​=11．分析：注意观察方程特点，可以看到分式x2−1x22x​与x22xx2−1​互为倒数．因此，可以设x2−1x22x​=y，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．解：设x2−1x22x​=y，则x22xx2−1​=y1​原方程可化为：8yy3​=11⇒8y2−11y3=0⇒y=1或y=83​．(1)当y=1时，x2−1x22x​=1⇒x22x=x2−1⇒x=−21​；(2)当y=83​时，x2−1x22x​=83​⇒8x216x=3x2−3⇒5x216x3=0⇒x=−3或x=−51​．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，原方程的解是x=−21​，x=−3，x=−51​．说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1．平方法解无理方程【例4】解方程x7​−x=1分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：移项得：x7​=x1两边平方得：x7=x22x1移项，合并同类项得：x2x−6=0解得：x=−3或x=2检验：把x=−3代入原方程，左边​=右边，所以x=−3是增根．把x=2代入原方程，左边=右边，所以x=2是原方程的根．所以，原方程的解是x=2．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．【例5】解方程3x−2​x3​=3分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．解：原方程可化为：3x−2​=3−x3​两边平方得：3x−2=9−6x3​x3整理得：6x3​=14−2x⇒3x3​=7−x两边平方得：9(x3)=49−14xx2整理得：x2−23x22=0，解得：x=1或x=22．检验：把x=1代入原方程，左边=右边，所以x=1是原方程的根．把x=22代入原方程，左边​=右边，所以x=22是增根．所以，原方程的解是x=1．说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．2．换元法解无理方程【例6】解方程3x215x2x25x1​=2分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x215x3=3(x25x1)．因此，可以设x25x1​=y，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理．解：设x25x1​=y，则x25x1=y2⇒3x215x=3(y2−1)原方程可化为：3(y2−1)2y=2，即3y22y−5=0，解得：y=1或y=−35​．(1)当y=1时，x25x1​=1⇒x25x=0⇒x=−1或x=0；(2)当y=−35​时，因为x25x1​=y≥0，所以方程无解．检验：把x=−1,x=0分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是x=−1,x=0．说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．练 习A  组1．解下列方程：(1)(x−1)(x−2)2x−1​=(x−2)(x−3)x−5​    (2)  2x2−11x−21x​=x2−12x35x7​(3)y2−42​=y21​−1        (4) x2−415​2−x2​=12．用换元法解方程：x2x24​=43．解下列方程：(1)x2​=−x        (2)x−5​x=7      (3)x3​−2=x4．解下列方程：(1)3x1​=x4​1        (2)2x−4​−x5​=15．用换元法解下列方程：(1)x−12x​=0          (2)x23xx23x​=6B  组1．解下列方程：(1)x2−3x22x−5​x2−44​=x−21​        (2)x2x−2x−4​=x−11​x2−4x−6​(3)x71​=(2x−1)(x7)x1​2x2−3x11​     (4)x1x−1​x−12x​−x2−14x​=02．用换元法解下列方程：(1)x1x2−5x​x(x−5)24(x1)​14=0    (2)x12(x21)​x216(x1)​=7(3)x2x42x21​xx21​=23．若x=1是方程xax​x−a1​=4的解，试求a的值．4．解下列方程：(1)x2−2x−33​=2x2−4x−1       (2)x−a3x​a2−x26x2​=xaa−x​5．解下列方程：(1)x2x2−1​=3            (2)x10​−x10​6​=5(3)2x2−4x3x2−2x6​=15简单的二元二次方程组答案A组1．(1){x1​=−3y1​=−3​,{x2​=2y2​=2​,(2){x1​=0y1​=2​,{x2​=38​y2​=−32​​,(3){x=4y=−3​,(4){x1​=210​​y1​=410​​​,{x2​=−210​​y2​=−410​​​2．(1){x1​=−1y1​=−2​,{x2​=−2y2​=−1​,(2){x1​=3y1​=−2​,{x2​=−2y2​=3​3．{x1​=0y1​=−1​,{x2​=23​y2​=45​​,(2){x1​=37​y1​=−1​,{x2​=313​y2​=−4​,(3){x1​=3​−1y1​=3​1​,{x2​=−1−3​y2​=1−3​​,{x3​=−2y3​=2​,{x4​=2y4​=−2​,(4){x1​=0y1​=0​,{x2​=21​y2​=21​​,{x3​=21​y3​=−21​​,{x4​=1y4​=0​．4．(1){x1​=26​​y1​=26​​​,{x2​=26​​y2​=−26​​​,{x3​=−26​​y3​=26​​​,{x4​=−26​​y4​=−26​​​．(2){x=4y=3​．B组1．(1){x1​=−5y1​=4​,{x2​=1y2​=1​,(2){x1​=−47​y1​=−23​​,{x2​=5y2​=3​2．(1){x1​=1y1​=−2​,{x2​=2y2​=−1​,(2){x1​=7y1​=−23​​,{x2​=−3y2​=27​​3．(1){x1​=13613​​y1​=13213​​​,{x2​=−13613​​y2​=−13213​​​,{x3​=−2y3​=2​,{x4​=2y4​=−2​(2){x1​=0y1​=2​,{x2​=0y2​=−2​,{x3​=2​y3​=−2​​,{x4​=−2​y4​=2​​4．(1){x1​=2y1​=−1​,{x2​=−1y2​=2​,{x3​=1y3​=−2​,{x4​=−2y4​=1​，(2){x1​=1y1​=3​,{x2​=3y2​=1​分式方程和无理方程的解法答案A组1．(1)x=−1,(2)x=−1,x=−21,(3)y=0,y=1,(4)x=3,x=−52．x=±2​3．(1)x=−1,(2)x=6,(3)x=25​−3​4．(1)x=5．(2)x=20．5．(1)x=9,(2)x=1,x=−4B组1．(1)x=−1±13​,(2)x=3,(3)x=5,x=−1,(4)x=31​2．(1)x=1,x=2,x=−3,x=−4,(2)x=1±2​,x=43±17​​,(3)x=−13．±22​​4．(1)x=0,x=2,x=22±32​​,(2)x=−21​a5．(1)x=±2​,(2)x=26,(3)x=3,x=−1tesoontesoon天星tesoonTesoon.com天星版权天·星om权课堂检测听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________.测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______.教学需要：加快□；保持□；放慢□；增加容□课后巩固作业_____题； 巩固复习____________________； 预习布置_____________________.签字教学组长签字：          学习管理师:老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师的建议：