数学建模之钢管下料问题案例分析(4)

钢管下料问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m。(1）现在一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管。应如何下料最节省？(2)零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m的钢管。应如何下料最节省。问题（1）分析与模型建立首先分析1根19m的钢管切割为4m、6m、8m的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程：4k1​6k2​8k3​≤19的整数解。但要求剩余材料r=19−(4k1​6k2​8k3​)<4。容易得到所有模式见 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 1。表1 钢管切割模式模式4m6m8m余料(m)14003231013201340023503016111171203决策变量 用xi​表示按照第i种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有minz=x1​x2​x3​x4​x5​x6​x7​约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有4x1​3x2​2x3​x6​x7​≥506米长的钢管至少20根，有  x2​3x5​x6​2x7​≥208米长的钢管至少15根，有 x3​2x4​x6​≥15因此模型为：minz=x1​x2​x3​x4​x5​x6​x7​s.t.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​4x1​3x2​2x3​x6​x7​≥50x2​3x5​x6​2x7​≥20x3​2x4​x6​≥15xi​取整,i=1,2,⋯,7​解得：x1​=0,x2​=12,x3​=0,x4​=0,x5​=0,x6​=15,x7​=0目标值z=27。即12根钢管采用切割模式2：3根4m，1根6m，余料1m。15根钢管采用切割模式6：1根4m，1根6m，1根8m，余料1m。切割模式只采用了2种，余料为27m，使用钢管27根。LINGO程序：model:sets:model/1..7/:x;endsetsmin=x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7);4*x(1)3*x(2)2*x(3)x(6)x(7)>=50;x(2)3*x(5)x(6)2*x(7)>=20;x(3)2*x(4)x(6)>=15;@for(model(i):@gin(x(i)));end问题（2）模型建立首先分析1根19m的钢管切割为4m、6m、8m、5m的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程：4k1​6k2​8k3​5k4​≤19的整数解。但要求剩余材料r=19−(4k1​6k2​8k3​)<4。利用Matlab程序求出所有模式见表2。求出所有模式的Matlab程序：number=0;fork1=0:4fork2=0:3fork3=0:2fork4=0:3r=19-(4*k16*k28*k35*k4);if(r>=0)&(r<4)number=number1;fprintf('- - - - --\n',number,k1,k2,k3,k4,r);endendendendend表2 钢管切割模式模式4m6m8m5m余料(m)1001212002033010234011105020126030017100308101129111011012003112002112201031321010143001215310011640003决策变量 用xi​表示按照第i种模式(i=1,2,…，16)切割的原料钢管的根数。决策目标 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有minz2​=i=1∑16​xi​设第i种切割模式下4米长的钢管ai​根，6米长的钢管bi​根，8米长的钢管ci​根，5米长的钢管di​根。则约束条件有：为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有i=1∑16​ai​xi​≥506米长的钢管至少20根，有  i=1∑16​bi​xi​≥208米长的钢管至少15根，有 i=1∑16​ci​xi​≥155米长的钢管至少10根，有 i=1∑16​di​xi​≥10为实现最多使用3种切割模式，增设0-1变量yi​,i=1,2,⋯,16。当yi​=0时，xi​=0，表示不使用第i种切割模式；当yi​=1时，xi​≥1，表示使用第i种切割模式。因此有：xi​≥yi​，xi​≤M.yi​，i=1,2,⋯,16其中M足够大，如这里取100。i=1∑16​yi​≤3因此模型为：minz=i=1∑16​xi​s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​i=1∑16​ai​xi​≥50i=1∑16​bi​xi​≥20i=1∑16​ci​xi​≥15i=1∑16​di​xi​≥10xi​≤M.yi​,i=1,2,⋯,16xi​≥yi​,i=1,2,⋯,16i=1∑16​yi​≤3xi​取整,i=1,2,⋯,16yi​=0或1,i=1,2,⋯,16M足大​解得：当所用钢管z最少时，求得的解为：x2​=8,x13​=10,x15​=10，其余为0。目标值z=28。即8根钢管采用切割模式2：2根8m，余料3m。10根钢管采用切割模式13：2根4m，1根6m，1根5m，余料为0。10根钢管采用切割模式15：3根4m，1根6m，余料1m。切割模式采用了3种，余料为34，使用钢管z=28根。LINGO程序为：model:sets:model/1..16/:a,b,c,d,r,x,y;endsetsdata:a=0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;b=0,0,1,1,2,3,0,0,1,2,0,0,1,0,1,0;c=1,2,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0;d=2,0,2,1,1,0,3,1,0,0,2,0,1,1,0,0;r=1,3,3,0,2,1,0,2,1,3,1,3,0,2,1,3;enddatamin=z;z1=@sum(model(i):r(i)*x(i));!余料;z=@sum(model(i):x(i));!钢管总数;@sum(model(i):a(i)*x(i))>=50;!4米长钢管约束;@sum(model(i):b(i)*x(i))>=20;!6米长钢管约束;@sum(model(i):c(i)*x(i))>=15;!8米长钢管约束;@sum(model(i):d(i)*x(i))>=10;!5米长钢管约束;@for(model(i):x(i)>=y(i));@for(model(i):x(i)<=1000*y(i));@sum(model(i):y(i))<=3;@for(model(i):@gin(x(i)));@for(model(i):@bin(y(i)));end