基于APOS理论的中学函数概念的教学研究

基于APOS理论的中学函数概念的教学研究作者：孟世才来源：《教学与管理(理论版)》2011年第07期一、研究背景数学是由概念与命题等内容组成的知识体系，它是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。中学数学教学大纲中明确指出：“正确理解概念是掌握数学基础知识的前提”。可见，概念是数学知识体系中的核心，概念教学在数学中应占有十分重要的地位。中学数学概念教学活动过程中，“一个定义，几项说明”的概念教学方式比较普遍，许多教师按照这种步骤进行教学，偏重于概念的逻辑结构，忽视概念本身的含义，往往导致课堂气氛沉闷，学生学习概念觉得枯燥无味，教学效果不好。二、数学概念教学的形式传统数学概念教学提出采用概念形成和概念同化的方式进行数学概念的教学。多数教师习惯使用概念同化教学。概念同化教学有以下四个步骤组成：（1）揭示概念的本质、属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的联系。这种教学过程比较简明，使学生能够比较直接地学习数学概念。但是概念同化教学偏重于概念的逻辑结构教学，而忽视了数学概念本身的涵义。数学概念具有过程和对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的过程。建构主义认为，学习是学习者根据已有的知识经验主动建构新知识的过程。在学习新概念之前，他们对一些数学问题和现象都有自己的看法和理解。数学概念教学应把学生这些知识经验作为新知识的生长点，从中“生长”出新的知识。近年来，西方科学教学研究者根据建构主义理论，提出了概念转变学习观。这种观点认为，学习是学生原有概念的改变、发展和重建，是学生的前概念向科学概念的转化。因此，进行数学概念教学应该揭示它的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。APOS理论是数学教育家杜宾斯基（Dubinsky）提出的关于数学概念教学的理论。他认为学生学习数学概念要经历四个阶段：Action（行动）—Process（过程）—Object（对象）—Scheme（概型）。其中的“行动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过活动让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的联系。“过程阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化和整合过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。“对象阶段”是通过前面的抽象，认识了概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精确化，成为一个具体的对象。“概型阶段”的形成要经过长期的学习活动来逐步完善，进而建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。三、函数概念教学分析1.初中阶段函数概念的内容结构在初中阶段，“函数”这一部分教材通常是按下图逐步展开的。2.函数概念的定义在初中阶段，考虑到学生的认知结构和心理特征以及函数概念本身的特点，它是这样来叙述的：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量。这里是从运动变化的观点来对函数进行定义的，是对函数的一个宏观的、整体的把握，是一个朴素的概念，称为传统定义。它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，按照由浅入深、直观到抽象的步骤进行安排内容符合中学生的认知规律。3.基于APOS理论的函数概念的教学（1）活动阶段——通过实例，渗透变量思想学生在学习函数概念之前，接触到的基本上是常量数学，这里需要完成从常量到变量的转变。问题是思维的源泉，思维是数学的内核。课堂45分钟到底要讲什么？内容教材已给定，但教师如何找到思维的切入点是课堂教学的关键。这就需要老师创设恰当的问题情境。举的例子应是学生容易理解的，让学生结合实际经验展开思考，充分利用学生头脑中已有的知识和相关经验，培养学生的思维能在静止与运动、离散与连续之间进行转化，这是认识的飞跃，在这一阶段使用了“变量”这一表象。活动阶段相当于观察，呈现数学概念的原始阶段，为提出函数概念作准备。（2）过程阶段——体验函数概念的形成过程例如：圆的周长与半径的关系。学生看到半径的变化能引起周长的变化，但这只停留在前一个认知阶段。在这里，则要关注两者之间的关系。上面的例子中涉及到两个变量，体会变量之间的相互制约性以及在同一运动系统中同时变化这种相互协调性。这些关于联系的感性认识的积累，会逐渐改变原来只把一个符号当作固定的数的模式。在两个变量间存在着一个使它们相互联系、相互依赖、相互制约的规律，这种规律在所举的例题中分别是某一个表格、某一条曲线或者某一个 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，突出“关系”。进而把问题中的两个变量加以区分，引进“函数”与“自变量”这两个概念。这一过程呈现出了函数概念的形成过程。为了使每个学生都获得必要的感知，让学生自己举例子，还可以利用数形结合的方法进行分析，让学生感受函数与变化过程的关系。方程和函数之间的区别是什么？让学生自己先思考，相互讨论、交流而概括出来。通过学生自己举实例，把函数概念具体化，使得原先被认为十分抽象的函数概念，转化成了非常直观和具体的对象，这样，函数概念在学生头脑中就变得很实在。（3）对象阶段——加深理解函数概念的本质经过上面两步的学习，这里的函数已经是一个独立的对象了。应用前面学过的知识来加深理解自变量、函数值、对应关系。函数阶段是前面所学知识的一次集成，它把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了整合。运用函数的观点和方法去处理前面所学知识，会有更深层次的理解。研究函数关系的表示法时，这仍然可以从分析已引进的列表法、图像法、解析式表示的函数关系着手，分别指出各种表示法的优缺点，并指出在研究函数时应经常把三种方法结合起来运用。事实上，代数式可以看作带有变量的函数表达式，求代数式的值就是求特定的函数值；方程实际上就是求已知函数满足一定条件的变数值，使在该变数值上已知函数有某个预先指定的值，特别是函数值为零时的自变量的值；不等式可以视为求函数的误差估计。如此一来，就把前面的知识统一到函数的范畴中，体现了数学的统一性，体会函数思想无处不在。函数概念的建立需要经过多次反复、循序渐进，过快的抽象过程使得大部分学生理解不了函数概念，只能死记硬背。（4）概型阶段——建立综合的心理图式函数概念并不是一个孤立的概念，它与其他数学概念是紧密联系在一起的。函数概念的建立还需要经过长期的活动来逐步完善。起初建立的概念模型，还要与后面其他数学内容的学习联系起来，如函数的图像、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等等。建立起与其他概念、规则、图形等的联系，逐渐在头脑中形成综合的心理图式。函数概念的教学经过上面四个步骤，就会让学生对函数概念的形成有了一个比较完整的认识，掌握得比较牢固。这四个部分是一个不可分割的整体，不可割裂开来片面看待。函数概念是一个不断发展、不断完善的数学概念。从不同的角度定义，得到不同形式的函数概念。考虑到函数概念自身的特点和学生的认知结构，函数内容在中学阶段安排了两处。在初中阶段，从宏观、整体的角度应用运动变化的观点来定义函数概念。到了高中阶段，从微观的角度应用映射的观点对函数概念进行了定义。参考文献[1]李义真，李悦兴．浅谈数学概念的教学．中学数学，2001（1）.[2]游丽昭．浅谈数学概念的教学．数学通讯，1996（8）.[3]李桂强.函数概念教学的新特点.数学教学，2006（7）.[4]王祖樾.函数概念发展的几个阶段.国内外中学数学，1985（11）.[5]陈中.函数概念的历史演变.数学通报，1992（10）.[6]王富英.新课程理念下中学数学学习过程评价的探究.数学教育学报，2003（12）.（责任编辑杨子）