理想气体状态方程和克拉珀龙方程的几个推论及其应用(1)

山东莒南一中李树祥山东莒南前刘山小学张伯英对于理想气体,有两个基本方程:一是研究任意质量的气体,在任意状态下,三个状态参量之间的关系的克拉珀龙方程PV=nRT；二是研究一定质量的理想气体在状态变化的过程中,初状态和末状态的状态参量之间的关系的理想气体状态方程T1​P1​V1​​=T2​P2​V2​​。由这两个方程可推导出一些有用的推论。推论一(理想气体的密度方程)：设气体的质量为m,在状态I时的密度为ρ1,温度为T1,压强为P1;状态Ⅱ时的密度为ρ2,温度为T2,压强为P2,则有ρ1​T1​P1​​=ρ2​T2​P2​​.推导把ρ1=m/V1和ρ2=m/V2代入理想气体的状态方程即得上式。此公式虽由一定质量的理想气体的状态方程推出,但此式却与质量无关,故常用来解决变质量气体的状态变化问题。例1：贮气筒中压缩空气的温度是T1=27°C,压强是P1=40atm。当从筒内放出一半质量的空气以后,筒内剩余空气的温度是T2=12°C,问这些剩余空气的压强P2是多少?解析：筒内放出一半质量的气体后,由于贮气筒的容积不变,气体的密度变为原来的一半,即ρ2=2ρ1​​。故由推论一得P2=P1ρ2T2/ρ1T1=40×ρ1/2×285/ρ1×300=19atm推论二：一定质量的理想气体，从温度为T1、压强为P的状态等容变化到温度为T′=TΔT、压强为P′=PΔP的状态时,气体压强的变化量ΔP=TΔT​P.；从温度为T1、体积为V的状态等压变化到温度为T′=TΔT、体积为V′=VΔV的状态时,气体体积的变化量ΔV=TΔT​V.推导设气体由状态P、T、V变化到状态P′、T′、V′。因等容变化时V=V′,故由气体状态方程有P′/P=T′/T，由分比定理得ΔP/P=ΔT/T,所以ΔP=ΔTP/T。同理可推得ΔV=ΔTV/T例2：一定质量的理想气体,在等压变化过程中,温度由300K升高至301K,问体积的增量等于它在300K时体积的多少?解析：依题设,气体温度的增量为ΔT=301-300=1K由推论二可得,体积的增量为ΔV=V/300，即体积的增量等于它在300K时体积的1/300。推论三：把压强、体积、温度分别为P1、V1、T1、P2、V2、T2,……的几部分理想气体(不管这几部分气体性质是否相同)进行混合,混合后的压强、体积、温度为P、V、T,则有T1​P1​V1​​T2​P2​V2​​T3​P3​V3​​….=TPV​若把压强、体积、温度为P、V、T的一定质量的气体分成几部分,则有TPV​=T1​P1​V1​​T2​P2​V2​​T3​P3​V3​​….推导设几部分气体的摩尔数分别为n1、n2、……,则由质量守恒可知,混合后的总摩尔数为n=n1n2……。由克拉珀龙方程有n1=T1​RP1​V1​​,n2​=T2​RP2​V2​​,……n=TRPV​,得T1​RP1​V1​​T2​RP2​V2​​……=TRPV​，即T1​P1​V1​​T2​P2​V2​​……=TPV​同理,可导出推论三的后部分结论。例3一个潜水艇位于水面下h=200m,艇上有一个容积V=2m3的贮气钢筒,筒内贮有压缩空气,将筒内一部分空气压入水箱(水箱有排水孔与海水相连),排出海水V1=10m3,此时筒内剩余气体的压强是P2=95atm。设在排水过程中温度不变,求贮气钢筒内原来的压缩空气的压强。设水面上空气压强为P0=1atm,海水密度为ρ=1.0×103kg/m3,g=10m/s2,1atm=1.0×105Pa。解析本题是一个压缩空气排水的问题,相当于把贮气筒内的压缩气体(已知体积V=2m3,设压强为P,温度为T)分为两个部分,一部分进入水箱(已知体积为V1=10m3,温度T1=T,设压强为P1),一部分留在贮气筒(已知体积V2=V=2m3,压强P2=95atm,温度T2=T)。水箱内空气的压强可直接算出P1=P0ρgh=11×103×10×200/1×105=21atm对压缩空气,由推论三有PV/T=P1V1/T1P2V2/T2得P=(P1V1P2V2)/V=（21×1095×2）/2=200atm推论四k个不同状态的理想气体合并后再分成另外m个不同的状态,则有T1​P1​V1​​T2​P2​V2​​T3​P3​V3​​….=T1′​P1′​V1′​​T2′​P2′​V2′​​T3′​P3′​V3′​​….推导同推论三的推导类似,由混合前气体的总摩尔数n1n2……等于混合后的总摩尔数n1′n2′……,再利用克拉珀龙方程即可导出推论四。例4如图所示甲、乙两容器用细管相连,V1=1L,V2=2L,甲容器内空气的压强为P1=1atm,乙容器中空气的压强为P2=2atm,温度均为T1=T2=27°C。打开阀门,并将甲容器的温度降为T1′=-73°C,乙容器的温度仍为T2′=27°C,问此时容器内气体的压强为多少?解析由推论四有T1​P1​V1​​T2​P2​V2​​=T1′​P1′​V1′​​T2′​P2′​V2′​​,即T1​P1​V1​​T2​P2​V2​​=T1′​PV1′​​T2′​PV2′​​得P=（3001×1​3002×2​）÷（2001​3002​）=1.43atm推论五（道尔顿分压定律）容器中混合气体的压强，等于在同样温度、同样体积下混合气体各成分单独存在时的分压强之和。即P1P2=P.推导，由推论三得T1​P1​V1​​T2​P2​V2​​……=TPV​，若V1=V2=V,T1=T2=T,则P1P2=P例5，一足球容积4L,内有压强P=2atm，用一容积为1L的打气筒充气，求充气4次后足球内压强？（忽略足球体积变化）解析：4次充气的气体在v=4L时的压强为P1，则P0×4×1L=P1×4L，P1=P0=1atm,此时足球内气体的压强为P2=PP1=21=3atm