函数的奇偶性经典例题(2)

精品资料  欢迎下载2．4函数的奇偶性【知识网络】1．奇函数、偶函数的定义及其判断 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题．【典型例题】例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0) 0；③偶函数的图象关于 y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．A．1B．2C．3D．4提示：①不对，如函数f(x)1y轴没有交点；②不对，因为奇函x2 是偶函数，但其图象与f（x）数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为=0〔x∈（－a，a）〕，答案为 A．（2）已知函数f(x)ax2bx3a b是偶函数，且其定义域为［a1,2a］，则（）A1b＝0B．ab 0Cb＝0D．a 3b＝03提示：由 f(x) ax2bx 3ab为偶函数，得b＝0．又定义域为［ a1,2a］，∴ (a 1)2a0，∴a1．故答案为 A．3x2（3）已知 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x0时，f(x)2x，则f(x)）在R上的表达式是（）A．y x(x2)B．yx(|x|2)C．y|x|(x 2)D．y提示：由 x0时， f(x)x22x，f(x)是定义在 R上的奇函数得：当x＜0时，x0，f(x)f(x)(x22x)x( x 2)x(x2)(x0)x(|x|2)，答案为 D．∴f(x)x2)(x，即 f(x)x(0)（4）已知 f(x)x5ax3bx 8，且f( 2)10，那么f（2）等于 26提示：f(x)8x5ax3bx为奇函数，f(2)818，∴f(2) 818（5）已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，若1f(x) g(x)，则x1x(|x|  2)，∴f(2)  26  ．f(x)的解析式为提示：由 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，可得1，联立f(x) g(x)x1f(x) g(x)111111x 1，得： f(x)2(x1x 1)x21，∴f(x)1x2例2．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)(x1)1x；(2)f(x)1x2x2  1；1x2x2x(x 0)（3）f(x)lg(1 x)；（4）f(x)x2x．|x22| 2(x 0)解：（1）由1x1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数．10，得定义域为 [x精品资料  欢迎下载(2)1x20x21 x  1，∴ f(x)0 ∴f(x)既是奇函数又是偶函数 ．x210（3）由1x20得定义域为 (1,0)(0,1)，∴f(x)lg(1x)2lg(1x)2|x22|20(x22) 2x2，∵f(x)lg[1(x)2]lg(1x2)f(x)∴f(x)为偶函数(x)2x2（4）当x0时，x0，则 f( x)( x)2x(x2x)f(x)，当x0时， x0，则 f(x) ( x)2x( x2x)f(x)，综上所述，对任意的x(,)，都有 f(x)f(x)，∴ f(x)为奇函数．例3．若奇函数f(x)是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：f(a 2) f(a24) 0．解：由已知得 f(a 2)f(a24)因f(x)是奇函数，故f(a24)f(4a2)，于是 f(a2)f(4 a2)．又f(x)是定义在（1，1）上的增函数，从而a24a23a21 a211a33a21a2415a或3a53即不等式的解集是(3,2)．例4．已知定义在 R上的函数 f(x)对任意实数 x、y，恒有 f(x)f(y)f(xy)，且当x 0时， f(x)0，又 f(1)2．3（1）求证： f(x)为奇函数；（2）求证： f(x)在R上是减函数；（3）求 f(x)在[3，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令 x y0，可得f(0)f(0)f(0 0)f(0)，从而，f(0)=0．令yx，可得f(x)f(x)f(x x)f(0)0，即f(x)f(x)，故f(x)为奇函数．（2）证明：设x1,x2∈R，且x1x2，则x1x20，于是 f(x1  x2)0．从而f(x1) f(x2)f[(x1x2) x2]f(x2)f(x1x2) f(x2) f(x2)f(x1x2) 0所以， f(x)为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为f( 3)，最小值为f(6)．f(3)f(3)[f(2)f(1)][2f(1)f(1)]3f(1)2f(6)f(6)[f(3)f(3)]4于是，f(x)在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（  C ）精品资料  欢迎下载A．函数 y1是奇函数，且在定义域内为减函数xB．函数 yx3(x 1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数 yx2是偶函数，且在（3，0）上为减函数D．函数 yax2c(ac0)是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示：A中，y1B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，在定义域内不具有单调性；x当a 0时，yax2c(ac0)在（0，2）上为减函数，答案为 C．2． 若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)a(x)bg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f(x)在（－∞， 0）上有（）A．最小值－ 5B．最大值－5C．最小值－ 1D．最大值－3提示：(x)、g(x)为奇函数，∴f(x)2a(x)bg(x)为奇函数．又f(x)有最大值5，∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．∴f(x)－2在(,0)上有最小值－ 3，∴ f(x)在(,0)上有最小值－ 1．答案为 C．3．定义在 R上的奇函数f(x)在（0，∞）上是增函数，又f( 3) 0，则不等式 xf(x)0的解集为（A）A．（－3，0）∪（0，3）B．（－∞，－3）∪（3，∞）C．（－3，0）∪（3，∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．4.已知函数 yf(x)是偶函数， yf(x2)在［0，2］上是单调减函数，则（ A）A.f(0)f(1)f(2)B.f(1)f(0)f(2)C.f(1)f(2) f(0)D.f(2)f(1)f(0)提示：由 f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f(x)在［－2，0］上单调递减 .∵y f(x)是偶函数，∴f(x)在［0，2］上单调递增 .又f( 1) f(1)，故应选 A.5．已知 f(x)奇函数，当 x∈（0，1）时，f(x) lg1，那么当 x∈（－1，0）时，f(x)的表达式是 lg(1x)．1x提示：当 x（－1，0）时，x∈（0，1），∴ f(x)f(x)lg1lg(1 x)．x2ax是奇函数，则 a200716．已知 f(x)log3＋2007a=2008．a x提示：f(0)log3 2a0，2a 1，解得：a 1，经检验适合， a20072007a2008．aa7．若 f(x)是偶函数，当x∈［0，∞)时，f(x)x1，则 f(x1) 0的解集是{x|0x2}提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出 f(x)的图象，由图可知 f(x)0的解集为{x|1x1}，∴ f(x1) 0的解集为{x|0x2}.8．试判断下列函数的奇偶性：（1）f(x) |x2| |x 2|； （2）f(x)1x2；（3）f(x)|x|(x 1)0．x 33x解：（1）函数的定义域为R，f(x) | x2||x2||x2||x2|f(x)，故f(x)为偶函数．精品资料  欢迎下载1x20x1且x0，定义域为 [ 1,0)(0,1]，关于原点对称，（2）由3|得： 1|x3 01x21 x2x)1x2f(x)3x，f(f(x)，故 f(x)为奇函数．x 3x（3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．9．已知函数 f(x)对一切x,yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，若 f( 3)a，用a表示 f(12)．解：显然f(x)的定义域是 R，它关于原点对称．在f(xy)f(x)f(y)中，令yx，得 f(0)f(x)f(x)，令xy0，得 f(0)f(0)f(0)，∴ f(0)0，∴f(x)f( x)0，即 f(x)f(x)， ∴f(x)是奇函数．∵f( 3)a，∴f(12) 2f(6)4f(3)4f(3)4a．10．已知函数 f(x)ax21b,cZ)是奇函数，又， f(1)2，f(2)3，求a、b、cbx(a,的值.c解：由 f(x)f(x)得 bxc(bxc) ∴c=0. 又f(1)2，得a 12b，而f(2) 3，得4a13，解得1a2.a1又aZ，∴a0或a1.若a0，则b=1Z，应舍去；若a 1，则b=1∈Z.2∴a1,b1,c0.