相似三角形的应用(路灯问题)●由灯求影例1、如图：路灯P距离地面8米， P身高1.6米的小丽从距离路灯的底部（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D行走14米到达B时，人影长度怎样改变？ 改变了多少? O BN A M传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝NB:NO, ∴1.6:8＝NB:（NB＋6）, 解之得NB＝1.5米， 同理可得1.6：8＝AM:（AM＋20）,解之得AM＝5米， ∴影长变...
●由灯求影例1、如图：路灯P距离地面8米， P身高1.6米的小丽从距离路灯的底部（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D行走14米到达B时，人影长度怎样改变？ 改变了多少? O BN A M传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝NB:NO, ∴1.6:8＝NB:（NB＋6）, 解之得NB＝1.5米， 同理可得1.6：8＝AM:（AM＋20）,解之得AM＝5米， ∴影长变短了5－1.5＝3.5（米）、评：这种解法只用了相似三角形最基本的性质，得用两次三角形相似，略显麻烦。创新解法（略解）：设直线CD交PO于E，则P易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的对应高，利用相似三角形对应高的比 E C D 等于相似比得CD:NM＝PE:PO,则14:NM＝（8－1.6）:8 O B N A M∴NM＝17.5米， NM－AB＝17.5－14＝3.5米，则影子变短了3.5米.评：创新解法用的是相似三角形对应高的比等于相似比，只用了一次三角形相似显得很方便。●由影求灯例2、如图：花丛中有一路灯杆PO,例3、灯光下，小丽在B点处的影长 PBN＝3米，沿OB方向行走到达A点，BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米， C D如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆 PO的高度。 O B N A M传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝BN:ON①, 同理，得DA:PO＝AM:OM②, 显然CB＝DA, 由①、②得BN:ON＝AM:OM, 设OB＝x米，则有3：（3＋x）＝5:（10＋x）,解之得x＝7.5米，代入①式，得PO＝5.95米评：这种解法仍然只用了相似三角形最基本的性质，又得用两次三角形相似，还要以中间比为桥梁，有些让人眼花缭乱。创新解法（略解）：同例1做法一样，设直线CD交PO于E，则易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的对应高，利用相似 P三角形对应高的比等于相似比得CD:NM＝PE:PO, ∴5:（5＋5－3）＝（PO－1.7）:PO E C D∴PO＝5.95米评：这种创新解法不但只用了一次相似 O B N A M三角形对应高的比等于相似比，而且非常简便快捷，既节约时间，有提高了准确率。●双灯双影问题例4、如图：小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m，（1）、若小丽距灯柱OP的水平 P Pˊ 距离OA＝a,求她影子AC的长。 （2）若小丽在两路灯之间行走， B 则她前后的影子的长度之和（DA＋AC） 是否为定值？请说明理由。O D A C Oˊ传统解法（略解）：（1）、依题意得：AB//OP, ∴△ABC∽△OPC, ∴ AC:OC＝AB:OP, ∵OP＝L, AB＝h, OA＝a, ∴AC:（a＋AC）＝h:L 解之得AC＝ah/L（2）、∵AB//OP, ∴△ABC∽△OPC, ∴AB:OP＝AC:OC＝h:L, ∴AC:（OC－AC）＝h:（L－h）, 即AC:OA＝h:（L－h）, ∴AC＝h/（L－h）·OA同理可得DA＝h/（L－h）·OˊA ∴DA＋AC＝h/（L－h）·（OA＋OˊA）＝hm/（L－m）是定值。评：这种做法还是只用了相似三角形最基本的性质，做第（1）问尚可，做第（2）问又得用两次三角形相似，显得很笨拙， 若将题目中的两问合并形成一个题目，则更加捉襟见肘，但用创新做法就简单多了。如：如图：小丽晚上在路灯下散步, P E Pˊ已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m，当她在两路灯之间行走，则她前后的 B影子的长度之和（DA＋AC）是否为定值？请说明理由。 O D A C Oˊ创新解法（略解）：连结PPˊ,设AB的延长线交PPˊ于 E,易得矩形OOˊPˊP,则AB、BE成了△BCD和△BPPˊ的对应高，由△BCD∽△BPPˊ, ∴CD:PPˊ＝AB:BE, ∴CD:m＝h:（L－h）,则CD＝hm/（L－m） 即DA＋AC＝hm/（L－m）是定值。评：创新解法还是只用了一次相似三角形对应高的比等于相似比，但这种做法显得多么飘逸灵活，一举解决问题，而不用分别拖泥带水地求出DA和AC，简直是一种享受。
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