【命题探究】2021版高考数学知识点讲座 考点37 空间几何体的结构特征及直观图、三视图，简单几何体的表面积和体积（含解析）新人教A版

本资料为共享资料来自网络如有相似概不负责PAGE【命题探究】2020版高考数学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 讲座：考点37空间几何体的结构特征及直观图、三视图，简单几何体的表面积和体积（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标空间几何体的结构特征、性质；平行投影与中心投影的性质，斜二测直观图画法规则与三视图画法原理、规则；柱、锥、台、球的表面积与体积公式及其应用.二.知识梳理1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2.棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱，两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）3.棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱，棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……4.棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形5.平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．6.平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线相交于一点，且在点处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和7.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）8.棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示如图棱锥可表示为，或．9.棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图）10.棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面11.正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形(3)棱台：用一个平行棱锥的底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫棱台．12．旋转体(1)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥．(3)圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫做圆台．13.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球．14.球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆15．平行投影与中心投影(1)把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．(2)把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影16．三视图(1)三视图就是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体，描绘出的三视图，分别称为主视图、左视图、俯视图(2)三视图的排列顺序：先画主视图，俯视图放在主视图的下方，左视图放在主视图的右方．17．直观图水平放置的平面图形的直观图常用斜二测画法来画．(1)在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，用它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半18．柱、锥、台和球的侧面积和体积面　积体　积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝【题文】Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR319.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．三．考点逐个突破1.　空间几何体的结构特征[例1]　下列结论正确的是(　　)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．底面是矩形的直四棱柱是长方体C．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥[思路点拨]　弄清常见几何体的结构特征是解题的关键，可借助熟悉几何体的模型进行判定．[解析]　如图①所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，∴A不正确；如图②、③所示，若△ABC不是直角三角形，或如果是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，∴C不正确；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，∴D不正确；B正确，直四棱柱的各侧面都是矩形，又底面是矩形，∴B正确．2.空间几何体的三视图[例2]　(2020·广东卷)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝eq\f(3,2)BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图是(　　)[解析]　由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝eq\f(3,2)BB′，且△ABC为正三角形，故正视图应为D中的图形．3.空间几何体的直观图[例3]　已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[解]　如图是△ABC的平面直观图△A′B′C′，作C′D′∥y′轴交x′轴于D′，则C′D′对应△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2·eq\r(2)·C′O′＝2eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(6)a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·a·eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.4.空间几何体的表面积[例4]　一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是(　　)A．372B．360C．292D．280[解析]　由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.5.　空间几何体的体积[例5]　如右图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？[解]　当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形．设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE＝eq\f(3,4)S，V水＝eq\f(3,4)S·AA1＝6S.当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh.∴6S＝Sh，∴h＝6.故当底面ABC水平放置时，液面高为6.