高中数学职称论文中学数学职称论文：从一道职考
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看高中数学教师学与教的缺憾上海市2008年高中数学教师晋升高级职称考试试题中有这样一道题:已知α,β为锐角.(1)求证:sinαsinβ≠sin(αβ);(2)若sin2αsin2β=sin(αβ),求证:αβ=π2.参加考试的都是从教十年以上的数学教师,许多还是各校、区的中青年骨干,但对这道题的解答却不容乐观.许多教师能较好地解答第(1)问,不能完整地解答第(2)问.这里我们从大部分教师的解题失败出发,找出失败的原因,逐步
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出正确的解法,与大家共同经历一个思维的过程,并以小见大地分析教师在解题学习与教学中的缺憾.一、教师学的缺失首先,大部分教师能用反证法,结合和差化积知识证明第(1)问:（1）反设:sinαsinβ=sin(αβ),则2sinαβ2cosα-β2=2sinαβ2cosαβ2.又α,β∈(0,π2),∴αβ2∈(0,π2),α-β2∈(-π4,π4),∴αβ2=-α-β2,或αβ2=α-β2,∴α=0或β=0与α,β∈(0,π2)矛盾.∴sinαsinβ≠sin(αβ).对第(2)问也延续第(1)问的方法,处理成:1-cos2α21-cos2β2=sin(αβ),即1-cos(αβ)cos(α-β)=sin(αβ).发现不能消去α-β和1,无法求得αβ的三角函数值,或使式子变得单纯,证明陷入困境.很多人无法调整,又不能回头追寻新的方法,结果无功而返.1.缺乏解题分析的自觉性上述过程中,问题(2)没有解决,也很少有教师能自觉地分析自身解题的成败得失,吸取教训,挖掘有利因素,逐步向目标靠拢.事实上,事物往往具有两面性,我们不能消去α-β,就应当进一步注意结论中的“1”,联想sin(αβ)的有界性,向目标靠近一大步.思路1 由sin(αβ)≤1,得cos(αβ)cos(α-β)≥0,又αβ∈(0,π),α-β∈(-π2,π2),∴cos(αβ)≥0,故0<αβ≤π2.这样,αβ的范围变小了,由π2联想把正、余弦互换,进一步控制范围,使问题得证:由0<α≤π2-β<π2,得0
π2,与思路1后面一样分别可得:sin2αsin2βsin(αβ)与题设矛盾.∴αβ=π2.2.缺乏对反证法的全面认识第(1)问的结论以否定形式出现,教师都想到了反证法,证明奏效了.第(2)问以肯定的形式出现,反证法意识明显弱化.反证法往往是正面证明有困难时更需要想到的,我们常谓“正难则反”就是这个道理.现在(2)的正面突破有困难,你为什么不“反”呢?一反就很容易形成上面的思路2了.其实,结论中也有解题信息.对于(1)我们也不要因为否定形式就一定用反证法,从正面思考,自然会问:不等!那是“恒大于?”“恒小于?”抑或“时大时小?”.如果是“恒大于”或“恒小于”直接证明也许更简单.于是产生:思路3 (1)∵α,β∈(0,π2),∴0sinαcosβcosαsinβ=sin(αβ),显然sinαsinβ≠sin(αβ).这个过程对问题(2)的方法暗示程度更高,更有借鉴的价值!可见,大部分教师对反证法的理解也只停留在语言形式的
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象上,没有从结论的本质上去认识反证法.3.缺乏对数学对象的辩证思考数学对象的深刻认识,就建立在对其多角度的观察上,是辩证思考的结果.证明的开始,大家就陷入了习惯思维的窠臼,都只想从繁到简,从左到右,一个劲地埋头向右,连抬头看左的时间都没有.其实,谁都明白对一个
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(比较重要的等式)就有正用、逆用,证明也常从左到右、从右到左或左右开弓.对这个问题,如果我们辩证地处理,从右向左,很容易想到解题目标和放缩法,方法显得更加统一、自然.思路4 (1)将思路3倒过来书写即可.(2)sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ,要等于sin2αsin2β,显然要比较sinα与cosβ,sinβ与cosα的大小.化同名后,就发现要比较α与π2-β的大小,这样就很自然地形成了反证法思路2或与之相仿的正面讨论.4.缺乏数形沟通的能力许多教师也试图从几何图形上给出(2)的证明,但只知道把角α和β放在同一个三角形中,利用补角π-(αβ)形成sin(αβ),没能够挖掘(2)所蕴涵的代数结构与几何结构的关系,解题同样未能奏效.参照“结论(αβ=π2)中的解题信息”,则(2)的条件满足sin2αsin2β=sin(αβ)=sin2(αβ),是勾股定理(余弦定理)结构,联想到构造的图形不仅应考虑到角,出现α,β,αβ,也要考虑边,出现sinα,sinβ,sin(αβ),利用单位圆或斜边长为1的直角三角形,就容易构造出如下的几何方法.思路5 如右图,OA=1,∠ACO=∠ABO=90°,则AB=sinα,AC=sinβ,且O,B,A,C四点在以OA为直径的圆上.∴BC=2Rsin(αβ)=sin(αβ).在△ABC中,由余弦定理,得sin2(αβ)=sin2αsin2β2sinαsinβcos(αβ),∴sin2(αβ)=sin(αβ)2sinαsinβcos(αβ),∴2sinαsinβcos(αβ)=sin(αβ)[sin(αβ)-1]≤0,∴cos(αβ)≤0.在△OBC中,由余弦定理,得sin2(αβ)=cos2αcos2β-2cosαcosβcos(αβ)=2-sin(αβ)-2cosαcosβcos(αβ),∴2cosαcosβcos(αβ)=2-sin(αβ)-sin2(αβ)≥0,∴cos(αβ)≥0.∴cos(αβ)=0,即得αβ=π2.在△ABC中的一个附带结论就是sinαsinβ>sin(αβ),这个图形能将(1)(2)问统一在一起,进一步说明以sinα,sinβ,sin(αβ)为边的构造是明智的选择.二、教师教的遗憾我们一直追求教学相长.尤其在新课程建设的今天,更应当突出学习能力的提高,学习自觉性的提升.教师自身在解题学习中的浅尝辄止,必然会表现在课堂教学中,上述问题的解决也反映教师在教学方面有许多值得改进的地方.1.对教材深度阅读的遗憾在《两角和与差的三角函数》一节中,每个版本的教材都有类似于(1)的问题,像人教社的大纲教材《高一数学(下)》第38页,课标教材《人教A版·必修④》第139页,《北师大版·必修④》第127页,《苏教版·必修④》第101页都有,上海教师用的新课标沪教版《数学高一·第二学期》第51页旁白有:“一般地,sin(αβ)≠sinαsinβ,cos(αβ)≠cosαcosβ.”遗憾的是现在大部分教师对教材的重视仍然不够,尤其是有一定教学经验的教师,更容易陷入经验主义的“想当然”.他们认为,依教材无法应对高考,急功近利,盲目地堆砌题目.事实上,近年的高考特别注重“双基”的考查,区分度较大的压轴题的方法也多蕴藏在书本的例、习题中,上海试题的表现尤甚.课本既然说:“一般地”,那么有没有“特殊地”,特殊在哪?如何证明?怎样的证明更本质?相信善于深入研究的教师,在教这段内容的时候很容易得到较为简洁的思路3.2.对提出新问题教学的遗憾问题是学生学习的驱动力,是教师吸引学生、组织教学的关键.能不断提出好的问题,就能更好地促进数学学习.对于问题(1),相信大部分教师在课堂上,或让学生猜想、反驳,或是自己强调,但没有深入,放过了一个好问题,造成了一片遗憾.如果能在针对:“一般地,sin(αβ)≠sinαsinβ,cos(αβ)≠cosαcosβ”的研究之后,再提出一些新问题,作为促进师生共同提高的手段会更好.如,提出姐妹题:“何时sin(α-β)=sinαsinβ,cos(αβ)=cosα±cosβ?”控制范围的深入题:“α,β∈[0,2π)时,sinαsinβ与sin(αβ)的关系如何?”“α,β∈(0,π2)时,sinαsinβ与sin(αβ)的关系如何?”在发现当α,β∈(0,π2)时sinαsinβ>sin(αβ)后,也可以想到(0,1)上的数平方后会变小,故能提出:“sin2αsin2β与sin(αβ)能相等吗?”这样较高层次的新问题.在问题的提出和解决过程中,教师由于思维定势的影响,往往只提出促进正面思考的问题.如:“这是什么类型的问题?”“这个问题和什么熟悉的问题相似?”等等.如果教师能常用:“不是这样,又当怎样?”从反面提问往往会别有洞天.如对问题(2)的结论用这样的方式处理,就很容易就αβ<π2,αβ>π2展开讨论或反驳;对条件用这样的方式处理,就可以形成:“sin2αsin2β>sin(αβ),则αβ>π2”“sin2αsin2β
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,真正从根本上帮助学生会学数学、学好的数学;对学生暴露出的思维要有一个明确的优劣评价,指出错误的原因和其中蕴涵的成功因素,让他们学会“拐弯”,自己生长知识,这样得来的知识、方法更牢固.
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