余数定理（一）可加性 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于31=4．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数。 （二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2．注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4. （三）可乘性a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 除以5的余数等于 ． 注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以5的余数等于 除以5的余数． （四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数中国剩余定理： 在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”， “秦王暗点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等． 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都
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示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是2×70＋3×21＋2×15=233,233－105=128,128－105=23. 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说， 是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．
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