一、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题3分，共18分）1．向量a={1,1,−4}在b={1,−2,2}上的投影等于（ ）（A）3 （B）−3 （C）232 （D）−2322．函数f(x,y)=arctanyx在点(0,1)处的梯度是（ ）（A）i （B）−i （C）j （D）−j3．二次积分∫0π/4dθ∫01f(rcosθ,rsinθ)⋅rdr=（ ）（A）∫02/2dx∫x1−x2f(x,y)dy （B）∫02/2dx∫01−x2f(x,y)dy（C）∫02/2dy∫y1−y2f(x,y)dx （D）∫02/2dy∫01−y2f(x,y)dx4．若曲线积分∫Lxy2dxyf(x)dy与路径无关，f有连续导数，f(0)=0，则∫(0,0)(1,1)xy2dxyf(x)dy=（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）1/25．若Σ是球面x2y2z2=1的下半部分的下侧，则曲面积分Σ∬zdxdy（ ）（A）小于0 （B）大于0 （C）等于0 （D）等于16．幂级数∑n(x−1)n的收敛域是（ ）（A）(0,2) （B）[0,2) （C）(0,2] （D）[0,2]二、填空题（每小题3分，共12分）1．点(2,1,0)到平面3x4y5z=0的距离为___________．2．若z=ex−2y，则全微分dz∣∣∣(2,1)=_____ ____．3．曲线{x=1cosθy=sinθ的弧长微元是ds= ．4．球面x2y2z2=9在点(1,2,2)处的外法向量对x轴的方向余弦cosα=___．三、计算题（每小题8分，共24分）1．求函数f(x)=∣∣∣x∣∣∣,(−π≤x≤π)的傅立叶系数an(n=1,2,⋯)，并判别级数n=1∑∞an是否收敛．2．求点O(0,0,0)关于直线{xy−z1=02x−yz−4=0的对称点．3．设函数z=z(x,y)由xz=yf(x2−z2)确定，其中f连续可导，验证z∂x∂zy∂y∂z与f的
表
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示式无关．四、计算题（前两小题各9分，后两小题各11分，共40分）1．求二次积分∫01dx∫x1e−y2dy．2．设立体Ω由z=x2y2和x2y2z2=1所围成三属于z≥0的部分，求三重积分Ω∭(x2y2z2)dV．3．设L是y=sin2πx上从点O(0,0)到A(1,1)的一段，利用格林
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求曲线积分L∫(x22xy−2πy)dx(x2y2)dy．4．设∑是抛物面z=x2y2与平面z=1围成立体的表面取外侧，求曲面积分∑∬◯xy2dydzyx2dzdxxydxdy．五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共6分）1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做）求证：n=1∑∞2nn(n2)=10．2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）求证：n=1∑∞2n2n1=5．答案：一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．B．2．A．3．C．4．D．5．B．6．B．二、填空题（每小题3分，共12分）1．2． 2．dx−2dy． 3．dθ． 4．1/3．三、计算题（每小题8分，共24分）1．an=πn22[(−1)n−1]，n=1∑∞an收敛． 2．(2,−2,2)． 3．z∂x∂zy∂y∂z=x，与f无关．四、计算题（前两小题各9分，后两小题各11分，共40分）1．21(1−e−1)． 2．5π(2−2)． 3．32． 4．6π．五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共6分）1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做）提示：证出n=1∑∞n(n2)xn==(1−x)3x(3−x),∣∣∣x∣∣∣<1，然后令x=21．2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）提示：证出n=1∑∞(2n1)xn=(1−x)23x−x2,∣∣∣x∣∣∣<1，然后令x=21．
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