《结构动力学》小
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关于多自由度体系主振型正交性的几点思考姓 名：××学 号：U2009158××专业班级:土木工程0905班指导老师：龙晓鸿完成时间：2012年3月21日关于多自由度体系主振型正交性的几点思考教材中对于多自由度体系主振型的正交性证明过程中，经过简单的变形之后，得到下式：和不同频率相应的主振型相对于质量矩阵M来说，是彼此正交的：以及不同频率相应的主振型相对于刚度矩阵M来说，是彼此正交的：上述得到式①和式②的前提都是在不同频率ωk=ωl下，那么我们有必要讨论一下，当ωk=ωl时，主振型还是否能保持这种正交性。一、在重频(ωk=ωl)情况下主振型的正交性在重频情况下，一般来说是不正交的，但由于之间是线性独立的，那么，可以通过一些正交化手段和线性组合的方式，来找到使式①及式②成立的向量。设多自由度体系有多个相同频率，且假设为ω1=ω2，则计算对应的阵型时，由方程组可以令i=1,2,⋯,n，可得出n个向量方程，其中有两个是不独立的。我们不妨将最后两个方程去掉，同时将方程中与对应的振型向量Y(i)的最后两个元素yn,yn−1有关的项移动到方程的右边化作：(k11−ω12m11)y1⋯(k1,n−2−ω12m1,n−2)yn−2=−(k1,n−1−ω12m1,n−1)yn−1−(k1,n−ω12m1,n)yn⋯(ki,1−ω12mi,1)y1⋯(ki,n−2−ω12mi,n−2)yn−2=−(ki,n−1−ω12mi,n−1)yn−1−(ki,n−ω12mi,n)yn⋯(kn−2,1−ω12mn−2,1)y1⋯(kn−2,n−2−ω12mn−2,n−2)yn−2=−(kn−2,n−1−ω12mn−2,n−1)yn−1−(kn−2,n−ω12mn−2,n)yn⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫④任意给定yn,yn−1两组线性独立的值yn(1),yn−1(1)和yn(2),yn−1(2)，例如可令对于给定的以上两组值，从方程组④解出其余n−2个yj(j=1,2,⋯,n−2)的两组解，分别记作yj(1)和yj(2)，与⑤组合为第一主振型和第二主振型此组合的第一主振型和第二主振型显然不是唯一的，为保证它们之间满足正交性条件，将Y(2)改为Y(2)cY(1)也是方程④的解，c由以下正交性条件确定解出待定系数c从而得到相互独立且正交的第一主振型和第二主振型。二、刚体模态Y0的正交性刚体模态其实就是刚体运动，它与弹性体的区别在于固有频率ωi为零。由式③，可得那么即刚体模态满足正交性。对于任一模态Yj，有因此，任一模态都与刚体模态关于K正交。希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。3、世界会向那些有目标和远见的人让路。
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