勾股定理(毕达哥拉斯定理)勾股定理是一个初等几何定理 ,是人类早期发现并
证明
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的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。 勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a22=c2的正整数组(,,c)。(3,4,5)bab就是勾股数。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为 c,那么 a2b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c,那么。勾股定理的逆定理命题2如果三角形的三边长 a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。【证法1】(赵爽证明)以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.2∵RtDAH≌Rt ABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD∠HAD=90o,∴ ∠EAB∠HAD=90o,∴ABCD是一个边长为 c的正方形,它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH是一个边长为 b―a的正方形,它的面积等于 .∴∴【证法2】(课本的证明).做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为分别为 a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形方形的边长都是 ab,所以面积相等 .a、b,斜边长为 c,再做三个边长.从图上可以看到,这两个正即 ,整理得 .【证法3】(1876年美国总统 Garfield 证明)以 a、b为直角边,以 c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使 A、E、B三点在一条直线上 .∵Rt EAD≌Rt CBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED∠ADE=90o,∴∠AED∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于 .又∵ ∠DAE=90o, ∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于∴.∴.【趣闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为 5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理, 并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统。”证法。【证法4】(欧几里得证明)做三个边长分别为 a、b、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使 H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD.过C作CL⊥DE,交 AB于点M,交DE于点L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ FAB≌ GAD,∵ FAB的面积等于 , GAD的面积等于矩形 ADLM的面积的一半,∴矩形 ADLM的面积 =.同理可证,矩形MLEB的面积=.∵正方形 ADEB的面积= 矩形ADLM的面积矩形MLEB的面积∴,即.【证法5】(利用相似三角形性质证明)如图,在 RtABC中,设直角边 AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为 c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.在ADC和ACB中,∵∠ADC=∠ACB=90o,∠CAD=∠BAC,∴ADC∽ACB.∴AD∶AC=AC∶AB,即.同理可证,CDB∽ACB,从而有.∴,即【证法6】(邹元治证明)以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上 .∵RtHAE≌RtEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH∠AHE=90o,∴∠AEH∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四边形 EFGH是一个边长为 c的正方形.它的面积等于 c2.∵RtGDH≌RtHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD∠GHD=90o,∴∠EHA∠GHD=90o.又∵ ∠GHE=90o,∴∠DHA=90o90o=180o.∴ABCD是一个边长为ab 的正方形,它的面积等于.∴.∴.【证法7】(利用切割线定理证明)在RtABC中,设直角边 BC=a,AC=b,斜边 AB=c.如图,以 B为圆心 a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于 D、E,则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90o,点 C在⊙B上,所以AC是⊙B的切线. 由切割线定理,得= = = ,即 ,∴ .【证法8】(作直角三角形的内切圆证明)在Rt ABC中,设直角边 BC=a,AC=b,斜边 AB=c.内切圆⊙O,切点分别为 D、E、F(如图),设⊙O的半径为作r.RtABC的∵AE=AF,BF=BD,CD=CE,∴= =rr=2r, 即 ,∴ .∴ ,即 ,∵ ,∴ , 又 ∵ = == = ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .