辽宁省鞍山市202X年中考一模数学试卷（含解析）

.PAGE下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2021年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷一、选择题〔此题共8个小题，每题3分，共24分〕1．以下各数是无理数的是〔　　〕A．0B．2C．﹣3D．2．如下图，该几何体的主视图是〔　　〕A．B．C．D．3．某班一个小组7名同学的体育测试成绩〔总分值30分〕依次为：27，29，27，25，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是〔　　〕A．27，25B．25，27C．27，27D．27，304．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，那么∠BAC的正切值是〔　　〕A．2B．C．D．5．有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出局部折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，那么下面所列方程正确的选项是〔　　〕A．4x2=3600B．100×50﹣4x2=3600C．〔50﹣x〕=3600D．〔50﹣2x〕=36006．甲、乙两人进展慢跑练习，慢跑路程y〔米〕与所用时间t〔分钟〕之间的关系如下图，以下说法错误的选项是〔　　〕甲、乙两人进展慢跑练习，慢跑路程y〔米〕与所用时间t〔分钟〕之间的关系如下图，以下说法错误的选项是〔　　〕A．前2分钟，乙的平均速度比甲快B．甲、乙两人8分钟各跑了800米C．5分钟时两人都跑了500米D．甲跑完800米的平均速度为100米/分7．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，点D是⊙O上一点，连接CD，AD．那么∠D等于〔　　〕A．76°B．38°C．30°D．26°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=1，MC=4，动点P在AB边上，连接PC，PM，那么PC+PM的最小值是〔　　〕A．B．6C．D．7　二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕9．分解因式：x3﹣4x=　　．10．二次函数y=2〔x+1〕2﹣3的顶点坐标是　　．11．点P〔m﹣1，2m+1〕在第一象限，那么m的取值范围是　　．12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．那么∠1+∠2=　　度．13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，假设AB=2SHAPE\*MERGEFORMATcm，∠BCD=22.5°，那么⊙O的半径为　　cm．14．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，那么∠BAD=　　．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，将点C折叠到AB边的点E处，折痕为BD，那么CD的长等于　　．16．如图，动点A在反比例函数y=〔x＞0〕图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AB，延长BA到点E，使AE=AC，直线DE分别交x、y轴于点P、Q，当=时，那么△ACE与△ADB面积之和等于　　．　三、解答题17．先化简，后求值：〔﹣x﹣1〕÷．其中x=+3．18．如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，求证：四边形AMEN是菱形．19．某中学开展“校园文化节“活动，对学生参加书法比赛的作品按A、B、C、D四个等级进展了评定．现随机抽取局部参赛学生书法作品的评定结果进展统计 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，并将分析结果绘制成如图扇形统计图〔图①〕和条形统计图〔图②〕，根据所给信息完成以下问题：〔1〕本次抽取的样本的容量为　　；〔2〕在图①中，C级所对应的扇形圆心角度数是　　；〔3〕请在图②中将条形统计图补充完整；〔4〕该校本次活动学生参赛的书法作品共750件，请你估算参赛作品中A级和B级作品共多少件？20．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件礼物，将这3件礼物分别放在3个完全一样的盒子里，每人随机抽取一个礼盒〔装有礼物的盒子〕〔1〕以下事件是必然事件的是　　A乙没有抽到自己带来的礼物B乙恰好抽到自己带来的礼物C乙抽到一件礼物D只有乙抽到自己带来的礼物〔2〕甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物〔记为事件A〕，请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．21．如图从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为37°，底部C的俯角为45°，观察点与楼的水平距离AD为40m，求楼BC的高度〔参考数据：sin37°≈0.60；cos37°≈0.80；tan37°≈0.75〕22．为庆祝某商场开业，商场推出两种购物 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ：方案一，非会员购物所有商品价格可获得九折优惠，方案二：如交纳500元会员费成为该商场会员，那么所有商品价格可获八五折优惠．〔1〕设x〔元〕 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示某商品价格，y〔元〕表示购置该商品支出的金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；〔2〕假设某人方案在该商场购置价格为13500元的苹果电脑一台，请分析选择哪种方案更省钱？23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC、BC及AB的延长线交于点D、E、F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，连接BD．〔1〕求证：BD是⊙O的切线；〔2〕求证：DE•AC=BE•CE．24．定义：对于平面直角坐标系中的任意直线MN及点P，取直线MN上一点Q，线段PQ与直线MN成30°角的长度称为点P到直线MN的30°角的距离，记作d〔P→MN〕．O为坐标原点，A〔4，0〕，B〔3，3〕是平面直角坐标系中两点．根据上述定义，解答以下问题：〔1〕点A到直线OB的30°角的距离d〔A→OB〕=　　；〔2〕点G到线段OB的30°角的距离d〔G→OB〕=2，且点G的横坐标为1，那么点G的纵坐标为　　．〔3〕假设点A到直线l：y=kx+1的30°角的距离d〔A→l〕=4，求k的值．25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，DE⊥B于点E，连CE．〔1〕如图1，AC=BC，AD=2CD，①△ADE与△ABC面积之比；②求tan∠ECB的值；〔2〕如图2，==k，求tan∠ECB的值〔用含k的代数式表示〕．26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A〔1，0〕和点B，与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕直线y=kx+3k经过点B，与y轴的负半轴交于点D，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PD，射线PD绕点P顺时针旋转与线段BD交于点E，且∠EPD=2∠PDC，∠EPD的平分线交线段BD于点H，∠BEP+∠BDP=90°①假设四边形PHDC是平行四边形，求点P的坐标；②过点E作EF⊥PD，交PD于点G，交y轴于点F，PF=3，求直线PF的解析式．　2021年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析　一、选择题〔此题共8个小题，每题3分，共24分〕1．以下各数是无理数的是〔　　〕A．0B．2C．﹣3D．【考点】26：无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项【解答】解：A、0是整数，是有理数，选项不符合题意；B、2是整数，是有理数，选项不符合题意；C、﹣3是整数，是有理数，选项不符合题意；D、是无理数，选项符合题意．应选D．　2．如下图，该几何体的主视图是〔　　〕A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成，所以它的主视图应该是上面下面各一个矩形，下面的矩形大很多．应选C．　3．某班一个小组7名同学的体育测试成绩〔总分值30分〕依次为：27，29，27，25，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是〔　　〕A．27，25B．25，27C．27，27D．27，30【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数〔或两个数的平均数〕为中位；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中27是出现次数最多的，故众数是27；将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是27，这组数据的中位数是27．应选C　4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，那么∠BAC的正切值是〔　　〕A．2B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理；T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理分别求出BC、AB、AC，根据勾股定理的逆定理得到∠B=90°，根据正切的概念计算即可．【解答】解：连接BC，那么BC=，AC==，AB==2，那么BC2+AB2=AC2，∴∠B=90°，那么tan∠BAC==，应选：D．　5．有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出局部折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，那么下面所列方程正确的选项是〔　　〕A．4x2=3600B．100×50﹣4x2=3600C．〔50﹣x〕=3600D．〔50﹣2x〕=3600【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】易得底面积的长=原来的长﹣2×切去的正方形的边长，宽=原来的宽﹣2×切去的正方形的边长，根据长×宽=3600列方程即可．【解答】解：设切去的小正方形的边长为x．根据题意得〔50﹣2x〕=3600．应选D．　6．甲、乙两人进展慢跑练习，慢跑路程y〔米〕与所用时间t〔分钟〕之间的关系如下图，以下说法错误的选项是〔　　〕甲、乙两人进展慢跑练习，慢跑路程y〔米〕与所用时间t〔分钟〕之间的关系如下图，以下说法错误的选项是〔　　〕A．前2分钟，乙的平均速度比甲快B．甲、乙两人8分钟各跑了800米C．5分钟时两人都跑了500米D．甲跑完800米的平均速度为100米/分【考点】E6：函数的图象．【分析】根据函数图象可以判断各选项是否正确，从而可以解答此题．【解答】解：前2分钟，乙跑了300米，甲跑的路程小于300米，从而可知前2分钟，乙的平均速度比甲快，应选项A正确；由图可得，甲8分钟跑了800米，乙8分钟跑了700米，应选项B错误；由图可知，5分钟时两人都跑了500米，应选项C正确；由图可知，甲8分钟跑了800米，可得甲跑完800米的平均速度为100米/分，应选项D正确；应选B．　7．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，点D是⊙O上一点，连接CD，AD．那么∠D等于〔　　〕A．76°B．38°C．30°D．26°【考点】MC：切线的性质．【分析】先根据切线的性质得到∠OAB=90°，再利用互余计算出∠AOB=52°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=38°，∴∠AOB=90°﹣38°=52°，∴∠D=∠AOB=26°．应选D．　8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=1，MC=4，动点P在AB边上，连接PC，PM，那么PC+PM的最小值是〔　　〕A．B．6C．D．7【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KW：等腰直角三角形．【分析】根据平面内线段最短，构建直角三角形，解直角三角形即可．【解答】解：如图，过点作CO⊥AB于O，延长BO到C'，使OC'=OC，连接MC'，交AB于P，此时PC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，连接AC'，∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACO=×90°=45°，∵CO=OC'，CO⊥AB，∴AC'=CA=AM+MC=5，∴∠OC'A=∠OCA=45°，∴∠C'AC=90°，∴C'A⊥AC，∴MC′===，∴PC+PM的最小值为．应选C．　二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕9．分解因式：x3﹣4x=　x〔x+2〕〔x﹣2〕　．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x〔x2﹣4〕，=x〔x+2〕〔x﹣2〕．故答案为：x〔x+2〕〔x﹣2〕．　10．二次函数y=2〔x+1〕2﹣3的顶点坐标是　〔﹣1，﹣3〕　．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的顶点坐标确定方法，直接得出答案即可．【解答】解：∵二次函数y=2〔x+1〕2﹣3，∴二次函数y=2〔x+1〕2﹣3的顶点坐标是：〔﹣1，﹣3〕．故答案为：〔﹣1，﹣3〕．　11．点P〔m﹣1，2m+1〕在第一象限，那么m的取值范围是　m＞1　．【考点】D1：点的坐标；CB：解一元一次不等式组．【分析】让点P的横纵坐标均大于0列式求值即可．【解答】解：∵点P〔m﹣1，2m+1〕在第一象限，∴m﹣1＞0，2m+1＞0，解得：m＞1，故答案为：m＞1．　12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．那么∠1+∠2=　270　度．【考点】L3：多边形内角与外角；KN：直角三角形的性质．【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠A=90°，∴∠B+∠C=90°．∵∠B+∠C+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故答案为：270．　13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，假设AB=2SHAPE\*MERGEFORMATcm，∠BCD=22.5°，那么⊙O的半径为　2　cm．【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．【分析】连接OB，根据圆周角定理得出∠BOD的度数，再根据弦AB⊥CD，垂足为E，AB=2cm得出BE的长，判断出△OBE的形状，再根据勾股定理即可得出OB的长．【解答】解：连接OB，∵∠BCD=22.5°，∴∠BOD=45°．∵弦AB⊥CD，垂足为E，AB=2cm，∴BE=AB=，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OB===2cm．故答案为：2．　14．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，那么∠BAD=　72°　．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为〔5﹣2〕×180°=540°，∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°又∵EA=ED，∴∠EAD=×=36°，∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，故答案是：72°．　15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，将点C折叠到AB边的点E处，折痕为BD，那么CD的长等于　3　．【考点】PB：翻折变换〔折叠问题〕．【分析】首先根据勾股定理计算出AB的长，再根据折叠可得BC=BE=6，CD=DE，AE=10﹣6=4，然后设CD=DE=x，那么AD=8﹣x，再在直角△ADE中利用勾股定理即可算出x的值．【解答】解：在直角△ABC中：AB===10，根据折叠可得BC=BE=6，CD=DE，BE=10﹣6=4，设CD=DE=x，那么AD=8﹣x，在直角△ADE中：〔8﹣x〕2=x2+42，解得：x=3．∴CD=3．故答案为：3．　16．如图，动点A在反比例函数y=〔x＞0〕图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AB，延长BA到点E，使AE=AC，直线DE分别交x、y轴于点P、Q，当=时，那么△ACE与△ADB面积之和等于　　．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到==，设EG=4t，那么PF=9t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．【解答】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，∴△QEG∽△DPF，∴==，设EG=4t，那么PF=9t，∴A〔4t，〕，∵AE=AC，AD=AB，∴AE=2t，AD=，DF=，PF=9t，∵△ADE∽△FPD，∴AE：DF=AD：PF，即2t：=：9t，即t2=，△ACE与△ADB面积之和=×2t×4t+××=．故答案为：．　三、解答题17．先化简，后求值：〔﹣x﹣1〕÷．其中x=+3．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答此题．【解答】解：〔﹣x﹣1〕÷====，当x=+3时，原式=．　18．如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，求证：四边形AMEN是菱形．【考点】LA：菱形的判定与性质．【分析】由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM=DN，可得AM=AN，即可证得四边形AMEN是菱形；【解答】证明：〔1〕∵MG∥AD，NF∥AB，∴四边形AMEN是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵BM=DN，∴AB﹣BM=AD﹣DN，∴AM=AN，∴四边形AMEN是菱形；　19．某中学开展“校园文化节“活动，对学生参加书法比赛的作品按A、B、C、D四个等级进展了评定．现随机抽取局部参赛学生书法作品的评定结果进展统计分析，并将分析结果绘制成如图扇形统计图〔图①〕和条形统计图〔图②〕，根据所给信息完成以下问题：〔1〕本次抽取的样本的容量为　120　；〔2〕在图①中，C级所对应的扇形圆心角度数是　108°　；〔3〕请在图②中将条形统计图补充完整；〔4〕该校本次活动学生参赛的书法作品共750件，请你估算参赛作品中A级和B级作品共多少件？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】〔1〕根据A级人数为24人，以及在扇形图中所占比例为20%，24÷20%即可得出抽取的样本的容量；〔2〕用360°乘以C级所占的百分比即可得出答案；〔3〕根据C级在扇形图中所占比例为30%，得出C级人数为：120×30%=36人，即可得出B级人数，补全条形图即可；〔4〕先求出A级和B级作品在样本中所占的百分比，再乘以总的作品，即可得出答案．【解答】解：〔1〕∵A级人数为24人，在扇形图中所占比例为20%，∴这次抽取的样本的容量为：24÷20%=120；故答案为：120；〔2〕C级所对应的扇形圆心角度数是360°×30%=108°；故答案为：108°；〔3〕根据C级在扇形图中所占比例为30%，得出C级人数为：120×30%=36〔人〕，那么B级人数为：120﹣36﹣24﹣12=48〔人〕，如下图：〔4〕∵A级和B级作品在样本中所占比例为：〔24+48〕÷120×100%=60%，∴该校这次活动共收到参赛作品750份，参赛作品到达B级以上有750×60%=450份．　20．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件礼物，将这3件礼物分别放在3个完全一样的盒子里，每人随机抽取一个礼盒〔装有礼物的盒子〕〔1〕以下事件是必然事件的是　C　A乙没有抽到自己带来的礼物B乙恰好抽到自己带来的礼物C乙抽到一件礼物D只有乙抽到自己带来的礼物〔2〕甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物〔记为事件A〕，请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；X1：随机事件．【分析】〔1〕根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．〔2〕画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：〔1〕A乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；B乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；C乙抽到一件礼物是必然事件；D只有乙抽到自己带来的礼物随机事件；应选：C；〔2〕设甲、乙、丙带的礼物分别记为A、B、C，根据题意画出树状图如下：一共有6种情况，其中甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况共有〔B、C、A〕和〔C、A、B〕2种，∴P〔事件A〕==．　21．如图从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为37°，底部C的俯角为45°，观察点与楼的水平距离AD为40m，求楼BC的高度〔参考数据：sin37°≈0.60；cos37°≈0.80；tan37°≈0.75〕【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵AD=31，∠BAD=32°，∴BD=AD•tan37°≈40×0.6=24，在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴CD=AD=40，∴BC=BD+CD=24+40≈64．故楼BC的高度大约为64m．　22．为庆祝某商场开业，商场推出两种购物方案：方案一，非会员购物所有商品价格可获得九折优惠，方案二：如交纳500元会员费成为该商场会员，那么所有商品价格可获八五折优惠．〔1〕设x〔元〕表示某商品价格，y〔元〕表示购置该商品支出的金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；〔2〕假设某人方案在该商场购置价格为13500元的苹果电脑一台，请分析选择哪种方案更省钱？【考点】FH：一次函数的应用．【分析】〔1〕根据优惠条件，可得函数关系式；〔2〕根据打折情况，可得实际价格，根据有理数的大小比拟，可得答案．【解答】解：〔1〕由题意，得方案一：y=0.9x；+500；×13500=12150元；×13500+500=11975元，∵12150＞11975，∴用方案二省钱．　23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC、BC及AB的延长线交于点D、E、F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，连接BD．〔1〕求证：BD是⊙O的切线；〔2〕求证：DE•AC=BE•CE．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；MA：三角形的外接圆与外心；ME：切线的判定与性质．【分析】〔1〕连接OB，由OB=OC知∠2=∠3，由Rt△ABC中D为AC中点知∠1=∠5，由∠ADF=∠ABC=90°知∠1=∠2，从而得∠5=∠3，根据∠3+∠4=90°可得答案；〔2〕先证△ABC≌△EBF得AB=BE，证△ABC∽△EDC得=，从而得出答案．【解答】证明：〔1〕如图，连接OB，∵OB=OC，∴∠2=∠3，∵∠ABC=90°、D为AC的中点，∴AD=CD=BD，∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，又∵∠ADF=∠ABC=90°，∴∠1=90°﹣∠A、∠2=90°﹣∠A，∴∠1=∠2，那么∠5=∠3，∴∠5+∠4=90°，∴BD是⊙O的切线；〔2〕在△ABC和△EBF中，∵，∴△ABC≌△EBF〔ASA〕，∴AB=BE，∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴=，即AB•CE=DE•AC，∴BE•CE=DE•AC．　24．定义：对于平面直角坐标系中的任意直线MN及点P，取直线MN上一点Q，线段PQ与直线MN成30°角的长度称为点P到直线MN的30°角的距离，记作d〔P→MN〕．O为坐标原点，A〔4，0〕，B〔3，3〕是平面直角坐标系中两点．根据上述定义，解答以下问题：〔1〕点A到直线OB的30°角的距离d〔A→OB〕=　4　；〔2〕点G到线段OB的30°角的距离d〔G→OB〕=2，且点G的横坐标为1，那么点G的纵坐标为　1+或1﹣．　．〔3〕假设点A到直线l：y=kx+1的30°角的距离d〔A→l〕=4，求k的值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】〔1〕如图1中，作AF⊥OB于F，在OB上取一点E，使得∠AEF=30°，那么d〔A→OB〕=AE．求出AE的长即可解决问题；〔2〕如图2中，作GF⊥OB于F，∠GEO=30°，GE=2，推出FG=EG=1，设直线x=1与直线OB交于点H，与x轴交于M，求出GM的值即可，同法可得G′的坐标；〔3〕如图3中，作AF⊥直线l：y=kx+1于F，直线l交x轴于H，交y轴于G，设H〔m，0〕，由△HOG∽△HFA，可得=，列出方程即可解决问题，同法可得当G在直线OB下方时G′〔1，1﹣〕；【解答】解：〔1〕如图1中，作AF⊥OB于F，在OB上取一点E，使得∠AEF=30°，那么d〔A→OB〕=AE．∵B〔3，3〕，∴∠AOF=∠OAF=45°，∵OA=4，∴AF=OF=2，在Rt△AEF中，AE=2AF=4．故答案为4．〔2〕如图2中，作GF⊥OB于F，∠GEO=30°，GE=2，∴FG=EG=1，设直线x=1与直线OB交于点H，与x轴交于M，∵∠GHF=∠HGF=45°，OM=HM=1，GF=HF=1，∴GH=，∴G〔1，1+〕，当G在直线OB下方时，同法可得G′〔1，1﹣〕，故答案为1+或1﹣．〔3〕如图3中，作AF⊥直线l：y=kx+1于F，直线l交x轴于H，交y轴于G，设H〔m，0〕，易知OG=1，AE=4，AF=2，OA=4，由△HOG∽△HFA，∴=，∴=解得m=或〔舍弃〕，∴H〔，0〕，代入y=kx+1，得到k===，当直线l经过一、二、四象限如下图，同法可得k=﹣=﹣．　25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，DE⊥B于点E，连CE．〔1〕如图1，AC=BC，AD=2CD，①△ADE与△ABC面积之比；②求tan∠ECB的值；〔2〕如图2，==k，求tan∠ECB的值〔用含k的代数式表示〕．【考点】SO：相似形综合题．【分析】〔1〕①作EH⊥AD于H，如图1，设CD=x，那么AD=2x，AC=BC=3x，先证明△ADE为等腰直角三角形得到AH=HDF=HE=x，然后利用三角形面积公式计算出S△ADE和S△ACB，从而得到的值；②在Rt△CHE中，利用正切的定义得到tan∠HEC=2，再证明∠BCE=∠HEC，所以tan∠ECB=2；〔2〕作EH⊥AD于H，如图2，设CD=a，那么AD=ak，BC=kAC，AC=〔k+1〕a，BC=〔k2+k〕a，利用勾股定理定理计算出AB=〔k+1〕•a，再证明△ADE∽△ABC，利用相似比得到AE=，接着证明△AHE∽△ACB，利用相似比可得到AH=，HE=，那么CH=a，那么根据正切定义得到tan∠HEC==，然后证明∠BCE=∠HEC，从而得到tan∠ECB的值．【解答】解：〔1〕①作EH⊥AD于H，如图1，设CD=x，那么AD=2x，AC=BC=3x，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A=45°，而DE⊥AB，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AH=HDF=HE=x，∴S△ADE=•2x•x=x2，∵S△ACB=•3x•3x=x2，∴==；②在Rt△CHE中，tan∠HEC===2，∵HE∥BC，∴∠BCE=∠HEC，∴tan∠ECB=2；〔2〕作EH⊥AD于H，如图2，设CD=a，∵==k，∴AD=ak，BC=kAC，∴AC=〔k+1〕a，∴BC=〔k2+k〕a，∴AB==〔k+1〕•a，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得AE=，∵HE∥BC，∴△AHE∽△ACB，∴==，即==，∴AH=，HE=，∴CH=AC﹣AH=〔k+1〕a﹣=a，∴tan∠HEC===，∵HE∥BC，∴∠BCE=∠HEC，∴tan∠ECB=．　26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A〔1，0〕和点B，与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕直线y=kx+3k经过点B，与y轴的负半轴交于点D，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PD，射线PD绕点P顺时针旋转与线段BD交于点E，且∠EPD=2∠PDC，∠EPD的平分线交线段BD于点H，∠BEP+∠BDP=90°①假设四边形PHDC是平行四边形，求点P的坐标；②过点E作EF⊥PD，交PD于点G，交y轴于点F，PF=3，求直线PF的解析式．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】〔1〕把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得结论；〔2〕①如图1，推出∠BHP=45°，求出直线BD解析式：y=﹣x﹣3，求出P点坐标等于〔﹣1，4〕；②如图2，作辅助线，构建矩形和等腰三角形，判断四边形PNDM为矩形得到MD=PN，那么DQ=2PN，然后证明△DEQ≌△DEF得到DQ=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用勾股定理列方程得出P和F的坐标，根据待定系数法求直线PF的解析式．【解答】解：〔1〕把A〔1，0〕代入y=﹣x2+bx+3中，﹣1+b+3=0，解得：b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕如图1，当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，x2+2x﹣3=0，〔x+3〕〔x﹣1〕=0，x1=﹣3，x2=1，∴B〔﹣3，0〕，∵四边形PHDC是平行四边形，∴PH∥DC，∴∠EHP=∠EDC，∠HPD=∠PDC，设∠PDC=x，∠BDP=y，那么∠EPH=∠HPD=x，∠EHP=∠EDC=x+y，∴∠BEP=∠BHP+∠EPH=x+y+x=2x+y，∵∠BEP+∠BDP=90°，∴2x+y+y=90°，x+y=45°，即∠BHP=45°，∴∠BDC=45°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴OB=OD=3=﹣3k，k=﹣1，∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣3，∵PH⊥x轴，设P〔x，﹣x2﹣2x+3〕，H〔x，﹣x﹣3〕，∴PH=CD=6，∴﹣x2﹣2x+3+x+3=6，解得：x1=0〔舍〕，x2=﹣1，∴P〔﹣1，4〕；②如图2，过D作DQ⊥y轴交PE的延长线于Q，直线PH交DQ于M，PN⊥y轴于N，∵∠PDC=∠EPD=∠DPH，∴PM∥DN，∵DQ⊥DN，而PM平分∠QPD，∴MQ=MD，易得四边形PNDM为矩形，∴MD=PN，∴DQ=2PN，∵EF⊥PD，∴∠BDP+∠DEG=90°，而∠BDP+∠BEP=90°，∴∠DEG=∠BEP=∠QED，∵∠BDF=45°，∴∠QDE=45°，在△DEQ和△DEF中，，∴△DEQ≌△DEF〔ASA〕，∴DQ=DF，∴DF=2MD=2PN，设P〔x，﹣x2﹣2x+3〕，那么PN=DM=﹣x，DF=﹣2x，FN=﹣x2﹣2x+3+3+2x=﹣x2+6，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF2=PN2+FN2，∴=〔﹣x〕2+〔﹣x2+6〕2，解得：x1=，x2=±3，∵点P为第二象限内抛物线上一点，∴x=﹣，∴DF=2，∴P〔﹣，2﹣3〕，F〔0，2﹣3〕，设PF解析式为：y=kx+b，把P〔﹣，2﹣3〕，F〔0，2﹣3〕代入得：，∴，∴直线PF的解析式为：y=﹣2x+2﹣3．