第二课时 等差数列前n项和的性质1．进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公式．2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应用．3．掌握等差数列前n项和之比问
题
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，以及实际应用．1．对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时的热点．2．常与函数、不等式结合命题．3．多以选择题和解答题的形式考查.3．若等差数列{an}的通项公式为an＝2n－3(n∈N＋且n≤10)，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝35，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝45，结合等差数列的性质和前n项和公式，上面的问题可以有多种求法，若记S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，则①S奇可以看作首项为a1＝－1，公差为4的等差数列的5项和：S偶则可看作首项为a2＝1，公差为4的等差数列的5项和；(1)当d＝0，a1≠0时，Sn＝，它是n的函数．na1一次2．等差数列的前n项和的性质设{an}是公差为d的等差数列，则(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也成等差数列，公差为.(2)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝，S奇/S偶＝.m2dndan/an＋11．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N＋)，则数列{an}为( )A．首项为1，公差为2的等差数列B．首项为3，公差为2的等差数列C．首项为3，公差为4的等差数列D．首项为5，公差为3的等差数列答案： C2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A．5 B．4C．3D．2解析： 因为项数为偶数，所以S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.答案： C3．在等差数列{an}中，若S2＝2，S4＝4，则a5＋a6＝______.解析： 由于S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，且S2＝2，S4－S2＝2，故S6－S4＝2，即a5＋a6＝2.答案： 24．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.答案： 24一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．本题既可以按照基本方法先求首项和公差，写出前n项和公式来求解，也可以利用等差数列的前n项和性质进行求解．[题后感悟] 本题解法较为灵活，方法一、二建立方程(组)计算属于通性通法．方法三、四、五直接应用性质简捷明快，起到事半功倍的效果．1．(1)已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数．(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝1，S3m＝4，试求S6m.已知数列{an}为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．[解题过程] 方法一：由等差数列的性质可知奇数项a1，a3，a5，…，a11与偶数项a2，a4，a6，…，a12仍然成等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，则∴a1＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.[题后感悟] 等差数列{an}中，a1，a3，a5，…是首项为a1，公差为2d的等差数列，a2，a4，a6，…是首项为a2，公差为2d的等差数列．当项数为2n时，S偶－S奇＝nd，方法二中运用到了这些性质.[策略点睛][题后感悟] 方法一、二对条件和等差数列的性质及基本关系应用比较充分，从而方法比较简单，运算量较小，而方法三虽然稍显烦琐，但这是求有关比值问题的基本方法，即分子、分母用相同的参数表示出来，约去参数得到比值．一个水池有若干出水量相同的水龙头．如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？本题可用等差数列前n项和知识建立方程求解．[解题过程] 设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，…，xn.由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，∴数列{xn}成等差数列，∴x1＋xn＝48.又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴x1＝8(min)，∴xn＝40(min)，故最后关闭的水龙头放水40min.[题后感悟] 解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型，通过解答数学问题实现实际问题的解决．常用的数学模型有函数、方程、不等式、数列、概念统计等．本题就是建立了等差数列的前n项和这一数学模型，以方程为工具解决问题的．4．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an与n的关系；(2)求4月份该款服装的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．解析： (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}．由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，∴an＝15n－5(1≤n≤12且n∈N＋)．而a13，a14，a15…，a30是首项为a13＝a12－10＝165，公差为－10的等差数列，∴an＝165＋(n－13)×(－10)＝－10n＋295(13≤n≤30且n∈N＋)．练考题、验能力、轻巧夺冠
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