HessenwasrevisedinJanuary2021的数列通项公式的求法种最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点
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之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.③已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。③解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。四、累加（乘）法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列中，，，求通项。在数列中，，（），求通项。五、取倒（对）数法a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6.．设数列满足求例7设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴变式:1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列{}满足时，，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.七、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。例9、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a－2}，从而达到解决问题的目的。练习、1数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。2、已知数列满足，且，求．2、递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．、例10．已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．3、形如解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例11:设数列：，求.解：令化简得：所以解得，所以又因为，所以数列是以5为首项，3为公比的等比数列。从而可得4、形如解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,z.从而转化为是公比为的等比数列。例12:设数列：，求.八：不动点法，形如解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例15：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例18.已知数列满足，，求。解析：设，∵，∴，，…，总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。十、双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例19.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即…………………………………………（1）又因为所以…….即………………………（2）由（1）、（2）得：，十一、周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例20：若数列满足，若，则的值为___________。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．十二、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.例21.已知数列满足（n∈），且有条件≥2）.解：由得：对n∈，再由待定系数法得：∴十三、循环法数列有形如的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出例22.．在数列中，解：由条件即即每间隔6项循环一次.1998=6×333，∴总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.
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