高中数学 第二章 参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程 直线参数方程及其应用素材 北师大版选修4-4

PAGE2.2直线参数方程及其应用一、直线参数方程建立课本在P55“向量与直线”阅读材料中，介绍了利用向量法建立直线方程的参数式：eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝x0＋at,y＝y0＋bt)(t为参数)（*）,其中(x0,y0)是直线上的一点，(a,b)是直线的一个方向向量,P(x,y)是直线上任意一点，实数t是对应点P的参数.这种直线的参数式方程可直线称为直线参数方程.事实上，我们还可以这样来建立直线的参数方程：因过定点P(x0,y0)且倾斜角为的直线方程为：y－y0＝eq\f(sin,cos)(x－x0)(0＜＜,且≠eq\f(,2)),则有：eq\f(y－y0,sin)＝eq\f(x－x0,cos).令其比值为t,于是得：eq\f(y－y0,sin)＝t,eq\f(x－x0,cos)＝t,即有eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝x0＋tcos,y＝y0＋tsin)(t为参数)（**）,这也是直线的参数方程.很显然其中参数t还有很好的几何性质，即|t|＝|eq\o(－→,P0P)|.为区别于其它形式的参数方程，参数方程（**）我们称为直线的标准参数方程.M0（x0，y0）为定点点，而t 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示有向线段M0P的数量，我们规定：当P在M的上方时，t＞0；而P在M的下方时，t＜0.通常，当我们将（*）代入二次曲线C的方程能得到：at2＋bt＋c＝0（***）如果a≠0，且△＝b2－4ac＞0时，则（**）所表示的直线L与C相交于A、B两点，且有向线段eq\o(→,M0A)，eq\o(→,M0B)的数量是方程（***）的二根t1，t2，即t1＝M0A，t2＝M0B.下面的几个结论是经常用到的：（1）|AB|＝|t1－t2|＝eq\r((t2+t1)2-4t2t1)；（2）AB的中点P对应的参数为t＝eq\f(t1＋t2,2)；（3）设P分有向线段AB的比为λ，则P对应的参数为eq\f(t1＋λt2,1＋λ).（4）当t1，t2满足关系t1＝λt2时，则(t1＋t2)2＝eq\f(λ＋1,λ＋2)·t1t2二﹑直线参数方程应用例1(1)已知直线过点A(－2,3),B(1,－5),求直线AB的参数方程；(2)直线l过点A(1,5),倾斜角为eq\f(,3),求直线l的参数方程.解：(1)直线AB的方向向量为v＝(1,－5)－(－2,3)＝(3,－8),又因其过点A(－2,3)，∴直线AB的参数方程为eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝－2＋3t,y＝3－8t).(2)直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝1＋tcoseq\f(,3),y＝5＋tsineq\f(,3)),即eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝1＋eq\f(1,2)t,y＝5＋eq\f(eq\r(3),2)t).例2若直线参数方程为eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝1＋tsin70,y＝2－tcos70)(t为参数)，求直线的倾斜角.解：由参数方程得：eq\f(x－1,sin70)＝eq\f(y－2,－cos70),∴y－2＝﹣eq\f(cos70,sin70)(x－1),∴y－2＝tan160(x－1),由此普通方程可知其倾斜角为160.例3(1)直线l过点P(1,2),倾斜角为eq\f(,4)，求l上与P的距离为2eq\r(2)的点；(2)求直线eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝－2－eq\r(2)t,y＝3＋eq\r(2)t)(t为参数)上的点到P(－2,3)距离为eq\r(2)的点的坐标.解：(1)l的参数方程为eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝1＋eq\f(eq\r(2),2)t,y＝2＋eq\f(eq\r(2),2)t),令|t|＝2eq\r(2),∴t＝±2eq\r(2),代加原参数方程得所求点为(3,4)或(－1,0).(2)可化成普通方程处理，现仍将参数方程整理成标准形式，利用参数的几何意义求解.即有eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝－2＋(2t)(﹣eq\f(eq\r(2),2)),y＝3＋(2t)·eq\f(eq\r(2),2)),又直线过定点P0(－2,3)，且直线上任一点P对应参数为2t,则有|eq\o(－→,P0P)|＝|2t|＝eq\r(2),∴2t＝±eq\r(2),当2t＝eq\r(2)时，所求点为(－3,4)；当2t＝－eq\r(2)时，所求点为(－1,2).例4已知过点P0（－1，2）的直线ι的参数方程是eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝－1＋3t,y＝2－4t)，求点P0到另一直线2x－y＋1＝0的交点P的距离.解：因为eq\r(a2＋b2)＝eq\r(32＋42)＝5≠1，所以此直线的参数方程不是标准线，令t＝eq\f(1,5)t，化为标准式，得eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝－1＋eq\f(3,5)t,y＝2－eq\f(4,5)t),将其代入方程2x－y＋1＝0，解得交点P对应的参数值tP＝eq\f(3,2)，故|P0P|＝|t'P|＝eq\f(3,2).例5过点M(2，1)作直线l，交x,y轴的正半轴于A，B两点.(1)求|MA|·|MB|的最小值；(2)当(1)取最小值时，求直线l的方程.解析：(1)设直线l的倾斜角为(0＜＜)，则其方程为eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x=2+tcos,y=1+tsin)(θ为参数，eq\f(,2)＜＜)…①,x,y轴方程为xy=0…②,①代入②整理得t2sincos+t(2sin+cos)+2=0…③,MA=t1，MB=t2，即为③的两个根，∴|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=eq\f(2,|sincos|)=eq\f(4,|sin2|),∴当=eq\f(3,4)时|MA|·|MB|的最小值为4.(2)∵A，B为直线l与x,y轴正半轴的交点，∴=eq\f(3,4)，将=eq\f(3,4)代入①得eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x=2+tcoseq\f(3,4),y=1+tsineq\f(3,4)),即eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x-2=﹣eq\f(eq\r(2),2)t,y-1=eq\f(eq\r(2),2)t),消去t,得x+y-3=0即为所求的l的直线方程.例6在已知圆x2＋y2＝4上有定点A（－1,－eq\r(3)）及动点P、Q且∠QAP＝eq\f(,3)，求△APQ面积的最大值.解：设直线AP的方程为eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝－1＋tcosα,y＝－eq\r(3)＋tsinα)(t为参数)，将其代入x2＋y2＝4，得t2－2（cosa＋eq\r(3)sina）t＝0，由弦长公式|AP|＝|2（cosa＋eq\r(3)sina）|＝4|sin（α＋eq\f(,6)）|，同理可得|AQ|＝4|sin（β＋eq\f(,6)）|，而β＝2＋eq\f(,3)，所以|AQ|＝4|cosa|，故S△APQ＝eq\f(1,2)|AP||AQ|sineq\f(,3)＝4eq\r(3)|sin（α＋eq\f(,6)）|·|cosa|＝4eq\r(3)|sinαcoseq\f(,6)＋cosαsineq\f(,6)）|·|cosa|＝4eq\r(3)|(eq\f(eq\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α)|＝2eq\r(3)|eq\f(eq\r(3),2)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)|＝2eq\r(3)|sin(2α＋eq\f(,6))＋eq\f(1,2)|当a＝eq\f(,6)时，Smax＝3eq\r(3).例7已知圆x2+y2=r2及圆内一点A(a，b)(a，b不同时为零)，求被A平分的弦所在直线方程．解：设所求直线的方程为eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝a＋tcosθ,y＝b＋tsinθ)(t为参数)eq\s(①,②)，代入圆的方程x2＋y2＝r2，整理得t2＋2(acosθ＋bsinθ)t＋a2＋b2－r2＝0设t1，t2为方程两根，∵A是中点，∴t1＋t2＝0，即acosθ＋bsinθ＝0，①×a＋②×b，得ax＋by＝a2＋b2＋t(acosθ＋bsinθ)＝a2＋b2，故所求直线方程是ax＋by＝a2＋b2．