高中数学 电子题库 第二章 6知能演练轻松闯关 北师大版必修4

PAGE高中数学电子 题库 doc摄影基础题库高中语文题库及参考答案安全生产模拟考试平台题库选择大学英语b统考题库消防知识竞赛题库 第二章6知能演练轻松闯关北师大版必修4eq\a\vs4\al(1.)(2020·咸阳调研)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)A.eq\f(63,65)　　　　　　　　　　B.eq\f(33,65)C．－eq\f(33,65)D．－eq\f(63,65)解析：选A.∵a＝(3，4)，b＝(5，12)，∴a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝eq\r(32＋42)＝5，|b|＝eq\r(52＋122)＝13.∴a与b夹角的余弦值为eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(63,5×13)＝eq\f(63,65).eq\a\vs4\al(2.)已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：选A.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴A＝90°，故选A.eq\a\vs4\al(3.)(2020·高考福建卷)若向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，则a·b等于________．解析：由向量的数量积等于对应坐标之积的和，可得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：1eq\a\vs4\al(4.)已知a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为________．解析：a在b方向上的投影为：eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(2×（－4）＋3×7,\r(（－4）2＋72))＝eq\f(13,\r(65))＝eq\f(\r(65),5).答案：eq\f(\r(65),5)[A级　基础达标]eq\a\vs4\al(1.)若向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论正确的是(　　)A．a·b＝1　　　　　　　　B．|a|＝|b|C．(a－b)⊥bD．a∥b解析：选C.对于A，a·b＝(2，0)·(1，1)＝2×1＋0×1＝2，故A错；对于B，|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，故B错；对于C，a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝1×1＋(－1)×1＝0，故C正确；对于D，不满足x1y2＝x2y1，故D错．eq\a\vs4\al(2.)若a＝(x，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10,3)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))解析：选C.x应满足(x，2)·(－3，5)<0且a，b不共线，解得x>eq\f(10,3)且x≠－eq\f(6,5)，∴x>eq\f(10,3).eq\a\vs4\al(3.)(2020·蚌埠高一检测)已知直线l的方向向量与向量a＝(1，2)垂直，且直线l过点A(1，1)，则直线l的方程为(　　)A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0解析：选D.取l的方向向量为n＝(1，k)，则1＋2k＝0即k＝－eq\f(1,2).∴l的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.eq\a\vs4\al(4.)(2020·焦作调研)若M(2，0)，N(0，2)，且点P满足eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，O为坐标原点，则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．解析：设P(x，y)，由eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，得(x－2，y)＝eq\f(1,2)(－2，2)＝(－1，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝－1,y＝1))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，0)·(1，1)＝2.答案：2eq\a\vs4\al(5.)与a＝(3，4)垂直的单位向量是________．解析：设e＝(x，y)，∴x2＋y2＝1.①又a·e＝0，∴3x＋4y＝0.②联立①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5),y＝－\f(3,5)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)，,y＝\f(3,5).))答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))eq\a\vs4\al(6.)(2020·宿州高一检测)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，(1)ka＋b与a－3b垂直？(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．(1)由(ka＋b)⊥(a－3b)得，(ka＋b)·(a－3b)＝10(k－3)－4(2k＋2)＝2k－38＝0，k＝19.(2)由(ka＋b)∥(a－3b)，得－4(k－3)＝10(2k＋2)，k＝－eq\f(1,3).此时ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))＝－eq\f(1,3)(10，－4)，所以方向相反．[B级　能力提升]eq\a\vs4\al(7.)(2020·高考重庆卷)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　)A．1　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选D.依题意得a＋b＝(3，k＋2)．由a＋b与a共线，得1×(k＋2)－3×k＝0，由此解得k＝1，a·b＝2＋2k＝4.eq\a\vs4\al(8.)(2020·高考湖北卷)若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)解析：选C.2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝eq\f(（2a＋b）·（a－b）,|2a＋b|·|a－b|)＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，故夹角为eq\f(π,4).eq\a\vs4\al(9.)已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________．解析：设b＝(m，n)，则由a·b＝5得4m－3n＝5，①又因为|b|＝1，所以m2＋n2＝1，②由①②可得(5n＋3)2＝0，∴n＝－eq\f(3,5)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(4,5)，,n＝－\f(3,5)，))∴b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))eq\a\vs4\al(10.)已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3，3)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，∴AB⊥AD.(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，四边形ABCD为矩形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).设点C的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－4)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5.))∴点C的坐标为(0，5)．∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，4)．又eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝8＋8＝16.设eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,2\r(5)×2\r(5))＝eq\f(4,5).故矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为eq\f(4,5).eq\a\vs4\al(11.)(创新题)已知过点A(0，2)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点，若O为坐标原点，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，求k及直线l的方程．解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知，l的方程为y＝kx＋2.直线l与圆C的方程联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,（x－2）2＋（y－3）2＝1.))整理，得(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0.由根与系数的关系，得x1x2＝eq\f(4,1＋k2)，x1＋x2＝eq\f(4＋2k,1＋k2).∵eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12，∴eq\f(4,1＋k2)＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝12，∴k＝eq\f(1,2).∴直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋2.