§2.3初等多值
函数
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1、幂函数与根式函数的映射性质2、指数函数与对数函数的映射性质3、一般幂函数与一般指数函数4、具有多个有限支点的情形5、反三角函数和反双曲函数6、小结与思考定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D到G的一一变换.f(z)=z2不是C上的单叶函数.f(z)=z3是C上的单叶函数1、根式函数定义2.9若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：i.e.根式函数为幂函数z=wn的反函数.(1)根式函数的多值性.(2)分出根式函数的单值解析分支.1)多值的原因2)解决的
办法
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.限制z的辐角的变换，使其辐角的改变量argz<2理论上的做法：从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化为单值函数来研究常用的做法：从原点起沿着负实轴将z平面割破：zxozyG结论：从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数分成如下的n个单值函数：定义域为wk在Gk上解析,且2、对数函数1.定义说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数Lnz一般不能写成lnz2.计算公式及多值性说明：由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数规定：为对数函数Lnz的主值于是：特殊地,例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例5解例6解2.性质3.分出w=Lnz的单值解析分支从原点起沿着负实轴将z平面割破,可将对数函数w=Lnz分成如下无穷个单值解析分支：定义域为wk在Gk上解析,且3、一般幂函数与一般指数函数1.一般幂函数称为z的一般幂函数2.一般指数函数称为z的一般指数函数对于特殊情况:例7解例8解2.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,5、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的
表
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达式:2.反双曲函数的定义例9解6、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.分成单值解析分支的方法2.负数无对数的结论不再成立
浙公网安备 33021202002483