第四章三角形第六节解直角三角形及其应用考点精讲解直角三角形锐角三角函数直角三角形的边角关系解直角三角形的实际应用解直角三角形应用中的常见模型锐角三角函数1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角，则有：∠A的正弦：sinA==①_____∠A的余弦：cosA==②_____∠A的正切：tanA==③_____2.特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°④____⑤_____________1⑥2.特殊角的三角函数值直角三角形的边角关系(在Rt△ABC中,∠C为直角，三边长分别为a、b、c)1.三边关系：勾股
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
：⑦________2.三角关系：∠A+∠B=∠C=90°3.边角间关系：sinA=cosB=;cosA=sinB=；tanA=;tanB=4.面积关系：S△ABC=⑧_____=ch(h为斜边AB上的高)a2+b2=c2解直角三角形的实际应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i
表
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示；坡面与水平线的夹角叫坡角，i==方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向（或西北方向）解直角三角形应用中的常见模型重难点突破解直角三角形的实际应用例（2016茂名）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°.已知教学楼AB高4米.（1）求教学楼与旗杆的水平距离AD;（结果保留根号）（2）求旗杆CD的高度.例题图解：（1）∵从教学楼B处观测到旗杆底端D的俯角是30°,∴∠ADB=30°,在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4米,∴AD=(米).答：教学楼与旗杆的水平距离AD是米.例题图（2）∵在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,AD=4米，∴CD=AD·tan60°=4×=12米.答：旗杆CD的高度是12米.满分技法1.运用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：（1）审题：根据题意作出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知量和未知量；（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题(若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决）；（3）选择适当关系式解直角三角形.2.对于解直角三角形的实际应用题，关键是要将题目中的信息转化为数学文字，并将所得信息转化为直角三角形中的边和角，注意抓住关键信息（含有数字信息的文字），利用解直角三角形的类型求解，并注意对结果要取近似值.【拓展】（2016广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D，从无人机A上看目标B、D的俯角分别为30°、60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行m到达A′处.（1）求A，B之间的距离；（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值.拓展题图解：（1）由题意得，∥BC,∴∠ABC=30°，又∵AC=60m,∴在Rt△ABC中，sin30°＝,即,∴AB=120m；拓展题图（2）如解图，连接,的正切值即为所求，过点D作DE⊥AA′于点E，∵AE∥BC,∠C=90°，∴∠EAC=90°，∴四边形ACDE为矩形，∴DE=AC=60m,又∵∠EAD=∠ADC=60°，拓展题解图∴在Rt△ADC中，tan60°=,即，∴AE=CD=20m,∴=+AE=30+20=50m,∴tan=.拓展题解图
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