一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2010·济南中考)观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n(n是正整数)的结果为()(A)(2n+1)2(B)(2n-1)2(C)(n+2)2(D)n2【解析】选A.图(1)中1＋8＝9＝32，图(2)中1＋8＋16＝25＝52，依次类推，可得第n个图1＋8＋16＋……＋8n＝(2n+1)2.2.(2010·荆门中考)如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】选C.(1)P为顶点，做OA的中垂线交x轴1个点，(2)A为顶点，以A为圆心，OA为半径做圆交x轴(除O点)1个点，(3)O为顶点，以O为圆心，OA为半径做圆交x轴2个点,故总共4个点.3.(2010·东营中考)如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动(不与点A，B重合)，连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为()(A)逐渐增大(B)逐渐减小(C)始终不变(D)先增大后变小【解析】选C.四边形DMNE是梯形，MN=MC+NC不变，所以四边形面积不变.二、填空题(每小题4分，共12分)4.(2010·红河中考)如图，在图(1)中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图(2)中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有_____个.【解析】图(1)中有3个平行四边形，图(2)中增加了3个，有6个平行四边形，图(3)中再增加3个，有9个平行四边形，所以第n个图形中平行四边形的个数共有3n个答案：3n5.(2010·台州中考)如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为_____(结果保留π)．【解析】前2次旋转路径长为π，第3次旋转路径长为π，每3次一循环，所以36次旋转相当于12次循环，所以总长为(8+4)π.答案：(8+4)π6.现有3×3的方格，每个小方格内均有数目不同的点图，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.图中给出了部分点图，则P处所对应的点图的点数为_____.【解析】九宫格的填法是先将数列按由小到大顺序排列再按口诀填写：二、四为肩，六、八为足，上九下一，左七右三，五居中央.答案：3三、解答题(共26分)7.(13分)(2010·北京中考)问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以
证明
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.(1)当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为_____；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_____；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_____；(2)当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.【解析】(1)补全图形如图1，相等15°1∶3(2)猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与(1)中结论相同.证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连结DK.∵∠BAC≠90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，∵∠KCA=∠BAC，∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC.∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6，∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB，∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，∵∠ACB=∠6=60°-∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，∵∠1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°，∴∠2=2∠1，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1∶3.8.(13分)如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.(1)求直线AB的解析式；(2)当点P运动到点(，0)时，求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F.由已知得BF=OE=2，OF=.∴点B的坐标是(，2).设直线AB的解析式是y=kx+b,∴直线AB的解析式是y=-x+4.(2)如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，∴△ABD≌△AOP,∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,∴∠DAP=∠BAO=60°,∴△ADP是等边三角形,∴DP=AP=如图，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH.方法一：在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°.∴BG=BD·cos60°=DG=BD·sin60°=∴OH=EG=,DH=.∴点D的坐标为(，).方法二：易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG,，而AE=2，BD=OP=，BE=，AB=4，则有(3)假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于.设点P为(t,0)，下面分三种情况讨论：①当t>0时，如图，BD=OP=t,②当-
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