建立模型巧求最值

-.PAGE-.word.zl.建立模型，巧求最值引言：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和〔差〕问题，解决这类问题的根本依据有：〔1〕“两点之间线段最短〞，〔2〕“垂线段最短〞，〔3〕“三角形两边之差小于第三边〞。一、常用几何模型：Ⅰ．“将军饮马〞模型：〔1〕、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；〔1〕点A、B在直线m两侧：〔2〕、点A、B在直线m同侧。A、关于直线m的对称。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。又区分为〔1〕两个点都在直线外侧：〔2〕一个点在侧，一个点在外侧：〔3〕两个点都在侧：Ⅱ．台球两次碰壁模型点A位于直线m，n的侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短.变式：点A、B位于直线m，n的侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.小例：点在，且,请在上找两点,使的周长最小，并求出它的最小周长？Ⅲ．平移、旋转加对称1、A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB最小．〔1〕点A、B在直线m两侧：〔2〕点A、B在直线m同侧：2、小河的宽度为米，河的两岸有两个村庄，现准备在河上建一座桥，使桥身下河岸垂直，问应该怎样选择桥址才能使两村间的路程最短？变式：如图在两个村庄之间有互相平行的两条小河，河宽分别为米、米，如果我们要在小河上建两座与小河河岸垂直的桥，应该怎样选择桥址，才能使两个村庄之间的路程最短？二、实例讲析解决这类问题的根本策略是：首先通过对题目的准确分析，寻找建立相关的几何模型，其次才是适当添加辅助线，应用勾股定理等几何方法进展计算。在中，，，点是的中点，是上一点，那么的最小值是多少？分析：由题意，动点只有一个,且在直线上，定点在直线同侧，是典型的“将军饮马问题〞，所以首先作点关于直线的对称点，连结交于，那么线段的长就是的最小值，只须连结就可计算了。在，，试在上分别找一点使的值最小？分析：由于这里的动点有两个，要到的距离最短，只要作的垂线就行，故而联想到先做关于的对称点，再过作于，交于，那么的长就是的最小值！〔垂线段最短与对称结合，属于“将军饮马问题〞的变化形式〕例3、是正方形对角线上一点，试寻找使最小的点的位置？模型应用：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．那么PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，那么PA+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，那么BM+MN的最小值是．第1题第2题第3题第4题4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，那么PA+PB的最小值为             ．第5题第6题第7题6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，那么PA＋PB的最小值为             ．7．A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，假设PA＋PB长度最小，那么最小值为            ．8．：，问在直线上是否存在一点P，使的周长最小？9、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A〔2，0〕，B〔0，4〕．〔1〕求该函数的解析式；〔2〕O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．10、正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，那么这个最小值为11、如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．12．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．13．如图，平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3〕，B(4，－1〕设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0〕，N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？假设存在，请求出m＝______，n＝______〔不必写解答过程〕；假设不存在，请说明理由．14．著名的大峡谷〔A〕和世界级自然保护区星斗山〔B〕位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一效劳区P，向A、B两景区运送游客．小民 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了两种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，图〔1〕是方案一的示意图〔AP与直线X垂直，垂足为P〕，P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图〔2〕是方案二的示意图〔点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P〕，P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．〔1〕求S1、S2，并比拟它们的大小；〔2〕请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；〔3〕拟建的到高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图〔3〕所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一效劳区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．15．如图，抛物线y＝eq\f(3,5)x2－eq\f(18,5)x＋3和y轴的交点为A，M为OA的中点，假设有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点〔设为点E〕，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点〔设为点F〕，最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．16．如图，平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3〕，B(4，－1〕假设C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，那么当a＝______时，四边形ABDC的周长最短．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.〔1〕假设E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； 〔2〕假设E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．〔1〕求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；〔2〕当BE经过〔1〕中抛物线的顶点时，求CF的长；〔3〕在抛物线的对称轴上取两点P、Q〔点Q在点P的上方〕，且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．19．如图，点A〔－4，8〕和点B〔2，n〕在抛物线y＝ax2上．〔1〕求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ＋QB最短，求出点Q的坐标；〔2〕平移抛物线y＝ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C〔－2，0〕和点D〔－4，0〕是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C＋CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？yOA2468-2-4-2-424xBCD假设存在，求出此时抛物线的函数解析式；假设不存在，请说明理由．二．求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)几何模型：在一条直线m上，求一点P，使PA－PB的差最大；〔1〕点A、B在直线m同侧：〔2〕点A、B在直线m异侧：模型应用：1.如图，抛物线y＝－eq\f(1,4)x2－x＋2的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)假设点P是x轴上任意一点，求证：PA－PB≤AB；(3)当PA－PB最大时，求点P的坐标.2.如图，直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．〔1〕求该抛物线的解析式；〔3〕在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．yxCBADOEy3.如图，直线y＝－eq\r(,3)x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．〔1〕求点D的坐标；〔2〕过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？假设存在，请求出这个最大值和点P的坐标．假设不存在，请说明理由．4.：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．〔1〕试直接写出点D的坐标；〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．假设以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；〔3〕试问在〔2〕抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得eq\b\bc\|(\a(,TO－TB))的值最大？假设存在，那么求出点T点的坐标；假设不存在，那么说明理由．好题赏析：〔2021•〕如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．〔1〕求证：△AMB≌△ENB；〔2〕①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；〔3〕当AM＋BM＋CM的最小值为eq\r(,3)＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，那么以下五个结论中正确的选项是〔　　〕①假设菱形ABCD的边长为1，那么AM＋CM的最小值1；②△AMB≌△ENB；③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，那么AN⊥BE；⑤当AM＋BM＋CM的最小值为2eq\r(,3)时，菱形ABCD的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤