函数的最值例1:作出函数y=x2-2x-3的图象,讨论其单调性,并求函数的最大(小)值.解:首先做出函数y=x2-2x-3的图象1)画出函数对称轴2)寻找顶点(-b/2a,(4ac-b2)/4a)3)寻找函数图象与x轴交点,即求一元二次方程x2-2x-3=0的解观察函数图象:1、函数y=x2-2x-3定义域为R2、在(-,1]函数为减函数,在(1,+)函数为增函数3、当x=1时,函数y=x2-2x-3有最小值ymin=-4配方法:y=x2-2x-3=(x-1)2-4因为在R内(x-1)2≥0y≥-4即当x=1时函数取最小值ymin=-4例2:求函数y=x2-2x-3在区间[-2,2]的最大、最小值.解:观察图象,1[-2,2],所以函数在顶点处取得最小值ymin=-4又x=-2,y=5,x=2,y=-3所以函数在x=-2时取得最大值ymax=5即当x=1时,ymin=-4,当x=-2时,ymax=5例3:求函数y=x2-2x-3在区间[-2,0]的最大、最小值解:观察图象,1[-2,0],当x≤1时,函数y=x2-2x-3为单调减函数在[-2,0]内,函数y=x2-2x-3为单调减函数又x=-2,y=5,x=0,y=-3当x=-2时,函数取得最大值ymax=5当x=0时,函数取得最小值ymin=-3小结:对二次函数y=f(x)求最值1、如果函数图象顶点在所给闭区间内,则在顶点处取得最小(大)值,在闭区间端点之一处取得最大(小)值2、如果函数图象顶点在所给闭区间外,则利用函数单调性,分别在闭区间两个端点处取得最大、最小值练习:分别求函数y=8+2x-x2在[-2,4]和[-2,0]的最值
答案
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:在[-2,4],当x=1时,ymax=9当x=-2或4时,ymin=0在[-2,0],当x=0时,ymax=8当x=-2时,ymin=0例4:已知函数,求函数的最大值与最小值。练习:P363作业:P435