安徽省定远重点中学2020学年高一数学下学期教学段考试题（含解析）

PAGE定远重点中学2020学年第二学期教学段考卷高一数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）1.三边满足，则为（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】由题意可得：a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0，即(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形。本题选择A选项.点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选：B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.3.中，若，则的面积为（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】由三角形面积公式可得：，故选B.4.数列的一个通项公式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n+1来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列，分子2n+1，由此可得数列的通项公式．详解：由已知中数列…可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n+1来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为an=（﹣1）n+1故选：D．点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质，或者通过发现规律直接找到通项.5.已知锐角的外接圆半径为，且，则()A.B.C.2D.5【答案】B【解析】因为，因为A为锐角，所以，所以本题选择B选项.6.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=2,S4=9，∴，解得，∴.本题选择B选项.7.在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前13项之和为()A.26B.13C.52D.156【答案】A【解析】∵在等差数中，，∴，解得，∴此数列前13项之和为：，故选A.8.已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题知：因为考点：等比数列9.等比数列的前项和为，若，，则（）A.9B.16C.18D.21【答案】C【解析】由题意可得：，解得：，则：.本题选择C选项.10.若，则一定有（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因,故,故应选C.考点：不等式的性质及运用.11.区域构成的几何图形的面积是（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】试题分析：画出约束条件对应的可行域，代入三角形面积公式，可得答案．详解：约束条件对应的可行域，如下图所示：这是一个腰长为1的等腰直角三角形，故面积S=×1×1=，故选：D．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.12.一货轮航行至处，测得灯塔在货轮的北偏西，与灯塔相距80海里，随后货轮沿北偏东的方向航行了50海里到达处，则此时货轮与灯塔之间的距离为（）海里A.70B.C.D.【答案】A【解析】由题意结合余弦定理可得货轮与灯塔之间的距离为：.本题选择A选项.二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。）13.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则___.【答案】【解析】试题分析：由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出cosB，把已知的等式变形后代入即可求出cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数．详解：由已知可得b2=a2+c2+ac，得到a2+c2﹣b2=-ac，所以根据余弦定理得：cosB=，∵B∈（0，π），则∠B=．故答案为：．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，若，则的值为___．【答案】故答案为：。15.在数列中，，则的值为__.【答案】397【解析】试题分析：由等差数列的定义，判断出是等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项，求出a100．详解：∵an+1﹣an=4∴数列{an}是以a1=1为首项，以4为公差的等差数列∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3∴a100=400﹣3=397故答案为397点睛：注意在利用等差数列的通项公式前，先判断出数列是等差数列，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.16.在等比数列中,若是方程的两根，则=______.【答案】【解析】是方程的两根，所以，在等比数列中，=故答案为点睛：本题是一元二次方程中韦达定理及等比数列中通项的性质的考查，在等比数列中，若则.三、解答题（本题有6小题，共70分。）17.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】试题分析：讨论a=0、a＞0和a＜0时，分别求出对应不等式的解集即可．详解：不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＞0化为（ax+2）（x﹣1）＞0，当a=0时，不等式化为x﹣1＞0，解得x＞1；当a＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，解不等式得x＜﹣或x＞1；当a＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，若a＜﹣2，则﹣＜1，解不等式得﹣＜x＜1；若a=﹣2，则﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，解得x∈∅；若﹣2＜a＜0，则﹣＞1，解不等式得1＜x＜﹣；综上，a=0时不等式的解集为{x|x＞1}；a＞0时不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}；a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}；a=﹣2时，不等式的解集为∅；﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}．点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.18.如图，在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若.（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2,BC=4，求AD的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.19.已知等差数列满足，⑴求等差数列的通项公式；⑵求数列的前项和，及使得取最大值时的值.【答案】（1）（2），最大值25【解析】试题分析：（1）由题意，可得公差d，带入可得通项公式（2）利用等差数列的求和公式，得前n项和，n=5时，Sn最大。试题解析：（1）设等差数列的公差为，，解得，∴通项公式（2）由（1）得前n项和，∴当n=5时，取得最大值25.考点：数列的通项与求和。20.已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式和通项公式及等比数列的性质列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式；（2）由题意推导出bn＝22n+1+1，由此利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和．详解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.①因为成等比数列，所以.②由①，②可得：.所以.（Ⅱ）由题意，设数列的前项和为，,，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列所以点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.21.某厂生产和两种产品，按计划每天生产各不得少于10吨，已知生产产品吨需要用煤9吨，电4度，劳动力3个(按工作日计算).生产产品1吨需要用煤4吨，电5度，劳动力10个，如果产品每吨价值7万元，产品每吨价值12万元，而且每天用煤不超过300吨，用电不超过200度，劳动力最多只有300个，每天应安排生产两种产品各多少才是合理的？【答案】当每天生产产品20，产品，创造的价值最大.【解析】试题分析：设每天生产产品吨和产品吨，根据用煤量、用电量、劳动力的限制列出关于，的约束条件，画出可行域，平移目标函数，即可找到最优解，代入目标函数即可得结果.试题解析：设每天生产产品吨和产品吨，则创造的价值为(万元)，由已知列出的约束条件为，问题就成为在此二元一次不等式组限制的范围(区域)内寻找，使目标函数取最大值的问题，画出可行域如图.∵，∴当直线经过直线与的交点时，最大，解方程组得，∴点坐标为，∴当时，取最大值.答：每天生产产品20吨和产品吨是合理的......................22.如图，江的两岸可近似地看出两条平行的直线，江岸的一侧有，两个蔬菜基地，江岸的另一侧点处有一个超市.已知、、中任意两点间的距离为千米，超市欲在之间建一个运输中转站，，两处的蔬菜运抵处后，再统一经过货轮运抵处，由于，两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同.如果从处出发的运输费为每千米元.从处出发的运输费为每千米元，货轮的运输费为每千米元.（1）设，试将运输总费用（单位：元）表示为的函数，并写出自变量的取值范围；（2）问中转站建在何处时，运输总费用最小？并求出最小值.【答案】（1），.（2）【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得，.(2)结合(1)的函数解析式求导有，，利用导函数研究函数的性质可得中转站建在处千米处时，运输总费用最小的为元.试题解析：(1)在中，由正弦定理知，则，则，.所以.即，.（2），令，当时，，；当时，，，所以当时，取最小值，此时，，.答：中转站建在处千米处时，运输总费用最小的为元.点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．