会计学1数学算法
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辗转相除法新人教A必修1.回顾算法的三种表示
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：（1）、自然语言（2）、程序框图（3）、程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）复习引入第1页/共22页2.思考：小学学过的求两个数的最大公约数的方法？先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.第2页/共22页例：求下面两个正整数的最大公约数：（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公约数？第3页/共22页新课讲解：一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。第4页/共22页2、
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
：（以求8251和6105的最大公约数的过程为例）第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。思考：从上述的过程你体会到了什么？第5页/共22页完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例：用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0第6页/共22页辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？第7页/共22页思考:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？(1)、算法步骤：第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.第8页/共22页(2)、程序框图：开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束第9页/共22页(3)、程序：INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND第10页/共22页思考:你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？写出算法步骤、程序框图和程序。第11页/共22页开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn>0？否输出m结束是n=rINPUTm，nWHILEn>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND第12页/共22页二、更相减损术可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、《九章算术》中的更相减损术：1、背景介绍：（2）、现代数学中的更相减损术：第13页/共22页2、更相减损术算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。第14页/共22页例:用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公约数等于73、方法：第15页/共22页(1)、算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.***思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？第16页/共22页(2)、程序框图开始输入a,ba≠b?是否输出b结束b=ra=br=a-br<b?a=r否是第17页/共22页(3)、程序INPUT“a,b=“;a,bWHILEa<>br=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND第18页/共22页1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．练习：思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。2、求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。第19页/共22页比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现的形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。小结第20页/共22页1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.小结2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.第21页/共22页
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